Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

Soluţia 2 (Titu Zvonaru). Considerăm punctul D ′ pe semidreapta opusă lui(BC astfel încât m(ÖBAD ′ ) = 30 ◦ . Triunghiul ACD ′ constituie configuraţia din problemaVI.143. Cum m(ÕCAB) = 15 ◦ , rezultă că B este mijlocul lui CD ′ , adică D ′coincide cu D. Deducem acum că m(ÕBAD) = 30 ◦ , m(ÕDBA) = 45 ◦ , m(ÕADB) = 105 ◦ .G213. Se consideră triunghiul ABC cu proprietatea că există M şi N puncte îninteriorul său astfel încât BN=CM şi △ABM∼△ACN. Demonstraţi că AB=AC.Crisitan Lazăr, IaşiSoluţie. Avem că ABAC = AMAN = BMCN = k şi m(ÕBAN) =m(ÖCAM) = α. Folosind teorema cosinusului în triunghiurileABN şi ACM şi ţinând seama de condiţia BN = CM, obţinemcă AB 2 + AN 2 − 2AB · AN cos α = AC 2 + AM 2 − 2AM ·AC cos α ⇔ k 2 AC 2 + AN 2 − 2k · AC · AN · cos α = AC 2 +k 2 AN 2 −2k·AN ·AC ·cos α ⇔ k 2 AC 2 +AN 2 = AC 2 +k 2 AN 2 ⇔(k 2 − 1)(AC 2 − AN 2 ) = 0. Întrucât N ∈ Int ABC, nu putemavea AN = AC; ar rezulta că AM = AB, deci m(ÕACN) =12 (180◦ − α) < m(ÒC) şi m(ÖABM) = 1 2 (180◦ − α) < m(ÒB);sumând, am obţine că 180 ◦ − α < m(ÒB) + m(ÒC) şi de aici contradicţia α > m(bA).Rezultă că AN ≠ AC şi atunci k 2 − 1 = 0, deci k = 1 şi de aici urmează cerinţaproblemei.AG214. Se consideră triunghiul isoscel ABC cu AB = AC şim(bA) < 90 ◦ . Construim înălţimea CF şi fie E mijlocul segmentuluiBF , iar D un punct pe segmentul BC. DacăÕADE ≡ÒB,arătaţi că D este mijlocul segmentului BC.Claudiu Ştefan Popa şi Gabriel Popa, IaşiSoluţia 1. Fie M mijlocul lui (BC) şi să presupunem prinabsurd că M ≠ D; considerăm că D ∈ (MC), cazul D ∈ (BM)tratându-se similar. Cum ME este linie mijlocie în △BCF ,rezultă că ME∥CF, deci ME ⊥ AB. Deducem că m(ÖAME) =90 ◦ − m(ÖBAM) = m(ÒB), prin urmareÖAME ≡ÕADE. AtunciB M D Cpatrulaterul ADME va fi inscriptibil şi rezultă că m(ÕAED) = m(ÖAMD) = 90 ◦ . Astfel,în E am putea ridica două perpendiculare distincte pe AB (anume ED şi EM),fapt imposibil! Rămâne că M ≡ D, adică D este mijlocul segmentului BC.Soluţia 2. Deoarece △ADE ∼ △ADB, rezultă că AD 2 = AE · AB. Dacă Meste mijlocul lui BC, cum ME ⊥ AB, deducem că AM 2 = AE · AB. Obţinem căAM = AD, cu M, D ∈ (BC) şi, de aici, M ≡ D.G215. În planele paralele P 1 şi P 2 se consideră cercurile C 1 = C(O 1 , R 1 ), respectivC 2 = C(O 2 , R 2 ). Fie K 1 conul de vârf O 2 şi bază C 1 şi K 2 conul de vârf O 1 şi bază C 2 .Arătaţi că intersecţia celor două conuri este un cerc şi determinaţi poziţia centruluişi mărimea razei acestuia.Temistocle Bîrsan, Iaşi64BEFMANC