Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

corespunzătoare. În acest caz, punctele O, H, G, I se află pe axa AA ′ (A ′ noteazămijlocul laturii [AB]) şi avem ordinele: A ′ − A − H şi A − A ′ − O.Aşadar, mulţimea triunghiurilor obtuzunghice şi isoscele este cadrul firesc al problemeipropuse. Aceasta se reduce la şase probleme simple, uşor de rezolvat de cătreun elev care are cunoştinţe de trigonometrie. Le vom aborda pe rând.Propoziţia 1. Dacă H şi G sunt simetrice faţă de vârful A al △ABC, atuncitriunghiul este obtuzunghic isoscel şi având cos A = − 1 4 (echivalent, 2a2 = 5l 2 , undea şi l notează lungimea bazei, respectiv a laturii triunghiului).Demonstraţie (Fig. 1). Faptul că △ABC este obtuzunghic isoscel a fostdeja stabilit. Condiţia de simetrie AH = AG se mai scrieHA ′ H − A ′ A = 2 3 A′ A, deci A ′ H = 5 3 A′ A saua2 ctg π 2 − A 2‹= 5 3 · a2 tg π 2 − A 2‹.Ca urmare, tg 2 A 2 = 5 3 şi, deci, cos A = −1 4 .Pe de lată parte, utilizând faptul că în △AA ′ B avemsin A 2 = a 2l , obţinem cos A = −1 4 ⇔ 1 − cos A = 5 4 ⇔B.A.GAOFig.1C2 sin 2 A 2 = 5 4 ⇔ a22l 2 = 5 4 ⇔ 2a2 = 5l 2 , ceea ce încheie demonstraţia.Propoziţia 2. Dacă O şi G sunt simetrice faţă de latura [BC] a △ABC, atuncitriunghiul este obtuzunghic isoscel şi îndeplineşte condiţia cos A = − 1 4 (echivalent,2a 2 = 5l 2 ).Demonstraţie (Fig. 1). Condiţia de simetrie A ′ O = A ′ G este echivalentă cuOB = BG, adică BG = R (raza cercului circumscris △ABC). În △BA ′ G avem:BG 2 = A ′ B 2 + A ′ G 2 , deci R 2 = a24 + A′ A3‹2. Cum 2R = aobţinem relaţiasin A şi A′ A = a 2 ctg A 2 ,1sin 2 A = 1 + 1 A 9 ctg2 2 echivalentă cu 9 cos2 A = 4 cos 4 A 2 . Extrăgândrădăcina pătrată, urmează: −3 cos A = 2 cos 2 A 2− 1 4 etc.⇔ −3 cos A = 1 + cos A ⇔ cos A =Observaţie. Comparând rezultatele precedente, constatăm că punctele H şi Gsunt simetrice fată de vârful A al △ABC dacă şi numai dacă O şi G sunt simetricefaţă de BC. Faptul se explică simplu dacă ţinem seama că G se află pe dreapta luiEuler şi HG = 2OG : AH = HG ⇔ HG = 2AG ⇔ 2OG = 2AG ⇔ OG = AG ⇔OG = 2A ′ G ⇔ A ′ O = A ′ G.Cu mijloace asemănătoare, vom stabili condiţiile în care punctul I este simetricullui H faţă de A sau el este simetricul lui O faţă de BC.35