Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

aaVII.139. Determinaţi cifrele a, b şi c, dacăÊ=Ê 33·É b, b(bc) ∈ N.Romanţa Ghiţă şi Ioan Ghiţă, BlajSoluţie. Observăm că a nu poate fi 0, iar b şi c nu pot fi simultan 0 sau simultan 9.aaCum x =É990 · 11ab, b(bc) 1099b + c = 10a10a∈ N, se impune ca1099b + c 1099b + c =p 2q 2 , cu p, q ∈ N∗ , (p, q) = 1 şi q|33. Atunci q 2 ∈ {1, 9, 121, 1089}. Cum b şi c suntcifre şi 10a nu se divide cu 11, cazurile q 2 = 121 şi q 2 = 1089 se elimină. În celelaltedouă situaţii, b nu poate fi decât 0. Dând lui c toate valorile 1, 2, . . . , 9, găsim soluţiilea = 2, b = 0, c = 5; a = 5, b = 0, c = 2; a = 8, b = 0, c = 5.VII.140. Determinaţi toate perechile (x, y) de numere întregi cu proprietatea că2 x+y (2 x2 +y 2 + 1) = 1.Neculai Stanciu, BuzăuSoluţie. Folosind inegalitatea mediilor, obţinem că 1 = 2 x2 +y 2 +x+y + 2 x+y ≥2 · √2 x2 +y 2 +2x+2y= √ 2 (x+1)2 +(y+1) 2 , prin urmare 2 (x+1)2 +(y+1) 2 ≤ 1. Deducem că(x + 1) 2 + (y + 1) 2 = 0, adică (x, y) = (−1, −1).VII.141. Dacă ABCD este un patrulater convex, arătaţi că există un unic punctM ∈ (BD) astfel încât triunghiurile ABM şi CDM să fie echivalente.Cecilia Deaconescu, PiteştiSoluţie. Fie {O} = AC ∩ BD şi A ′ , C ′ proiecţiile pe BD ale vârfurilor A,respectiv C. Condiţia A ABM = A CDM revine la BM · AA ′ = MD · CC ′ , adicăBMAMD = CC′ CC′. ÎnsăAA′AA ′ = CO (din asemănareaAO△AOA ′ ∼ △COC ′ ), prin urmare punctul căutatM este unicul punct interior segmentului (BD) careBCîl împarte în raportul k = CODA OAO .VII.142. Determinaţi valoarea minimă a arieiunui paralelogram circumscris unui cerc de rază r.Adrian Corduneanu, IaşiCSoluţie. Fie ABCD paralelogram circumscris cercului C(O, r); atunci AB+CD =AD+BC, prin urmare ABCD este, de fapt, romb. Fie α = m(ÕABD) şi M = P r AB O;atunci AB = AM +MB = OMctg α + OMtg α = r cos αsin α + sin α cu egalitate cândcos α‹≥2r,cos α = sin α, adică α = 45 ◦ AB · OM. Deducem că A ABCD = 4 · A OAB = 4 ≥24r 2 , cu egalitate pentru α = 45 ◦ . În concluzie, valoarea minimă căutată a arieiparalelogramului este 4r 2 , atinsă în cazul în care ABCD este pătrat.VII.143. În interiorul triunghiului ascuţitunghic ABC cu m(bA) = 60 ◦ se considerăun punct M astfel încât m(ÖBMC) = 150 ◦ . Un cerc ce trece prin A şi M taie(AB) în Q şi (AC) în R, iar cercul circumscris triunghiului MQB taie (BC) în P .Demonstraţi că triunghiul P QR este dreptunghic.Neculai Roman, Mirceşti (Iaşi)54