Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

Soluţia 1 (a autorului). Fie T intersecţia dreptei AC cu paralela prin N la AD.Deoarece CTDAT = CNND = CP , rezultă că T P ∥AM.P BÎnsă MP ∥AC, prin urmare AMP T este paralelogram,unde mijlocul R al diagonalei AP va fi ATNmijloc şi pentru MT . Astfel, RS este linie mijlocieîn △MT N şi atunci RS = 1 R2 NT . CumST NMAD = CNRS= 1 − k, rezultă căCD AD = 1 − k .2Să notăm că RS∥T N∥AD, aşadar −→ RS =1 − k −→B PC· AD.2Soluţia 2 (Gheorghe Iurea). În planul complex, vom nota cu x afixul punctuluiX. Obţinem imediat că m = b(1 − k) + ak, p = b(1 − k) + ck, n = d(1 − k) + ck,r = 1 2 (a + p), s = 1 2 (m + n). Atunci s − rd − a = 1 − k ∈ R + şi de aici urmează că2RS∥AD, iar RSAD = 1 − k .2Notă. O soluţie folosind calculul vectorial a dat dl. Ioan Viorel Codreanu,Satulung (Maramureş).L208. Un cilindru circular drept de axă d şi rază R 1 şi o sferă de centru O şirază R 2 sunt tangente exterior în punctul A. Fie B simetricul lui A în raport cu dşi fie π planul ce trece prin B, este perpendicular pe planul determinat de O şi d şiface cu axa d un unghi de 30 ◦ . Calculaţi raportul razelor celor două suprafeţe ştiindcă secţiunile lor cu planul π au arii egale.Temistocle Bîrsan, IaşiSoluţie. Figura indică secţiunea cilindrului şi sferei cu planul determinat deO şi d. Dreapta BD este intersecţia acestuia cu planulDdπ. Cilindrul este secţionat de π după o elipsă cu lungimilesemiaxelorER 1Csin 30 ◦ = 2R 1 şi R 1 , iar sfera dupăun cerc cu raza dată de ED 2 = OD 2 − OE 2 = OD 2 − B A OOB 2 cos 2 30 ◦ = R2 2 − 3 4 (2R 1 + R 2 ) 2 = 1 4 R2 2 − 3R1 2 −3R 1 R 2 . Egalitatea ariilor secţiunilor revine la π · 2R 1 ·R 1 = π( 1 4 R2 2 − 3R 2 1 − 3R 1 R 2 ) sau, cu notaţia k = R 2R 1, k 2 − 12k − 20 = 0, de undek = 6 + √ 56. Aşadar, R 2= 2(3 + √ 14).R 1L209. Se consideră triunghiul ABC şi punctele M, N, P, Q, R, S definite prin−−→BM = k · −−→ MC, −−→ CN = k · −−→ NA, −→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→AP = k · P B, AM = p · MQ, BN = p · NR,−→CP = p · −→ P S, unde k, p ∈ R ∗ \{−1}. Demonstraţi că S MNP ≥ 1 4 · S ABC, iar S QRS ≥p + 32p‹2· S ABC .66Marius Olteanu, Rm. Vâlcea