Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

(6, 1, 2). Analog, când c = 1 vom avea soluţiile (3, 5, 1); (4, 3, 1); (6, 2, 1). În continuare,fie a, b, c ≥ 2. Din a = ≥ 2 rezultă că (b − 1)(c − 1) ≤ 22(b + 1)(c + 1)4bc − (b + 1)(c + 1)şi, de aici, (b, c) ∈ {(2, 2); (2, 3); (3, 2)}. Obţinem atunci soluţiile (2, 2, 3) şi (2, 3, 2).G210. Demonstraţi că fracţia a3n+2 − a 3n+1 + (−1) na 3n+8 − a 3n+7 + (−1) n este reductibilă pentruorice a, n ∈ N, a ≥ 2.Dan Popescu, SuceavaSoluţie. Amplificând fracţia cu (−1) n şi notând b = −a, ar trebui să arătămcă fracţia b3n+2 + b 3n+1 + 1b 3n+8 + b 3n+7 + 1 este reductibilă pentru n ∈ N. Observăm că b3n =(b 3 − 1 + 1) n = M(b 3 − 1) + 1 = M(b 2 + b + 1). Rezultă că b 3n+2 + b 3n+1 + 1 =[M(b 2 +b+1)+b 2 ]+[M(b 2 +b+1)+b]+1 = M(b 2 +b+1) şi, analog, b 3n+8 +b 3n+7 +1 =M(b 2 +b+1), deci fracţia în b se simplifică prin b 2 +b+1 ≥ 3 (deoarece b ∈ Z, b ≤ 2).G211. Demonstraţi că expresia‹2 ‹2x 2 (a 1 + a 2 ) + x 3 a 1 x 1 (a 1 + a 2 ) + x 3 a 2E = y 1 + y 2 +x 1 + x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3x 1 a 1 − x 2 a 21+ y 3 −·x 1 + x 2 + x 3‹2y 1 + y 2 + y 3x 2 (a 1 + a 2 ) + x 3 a 1 x 1 (a 1 + a 2 ) + x 3 a 2 x 1 a 1 − x 2 a 2·•−y 1 + y 2 + y 3 ,x 1 + x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3˜2unde a i , x i , y i ∈ R ∗ +(i = 1, 2, 3), nu depinde x 1 , x 2 , x 3 .Mircea Bîrsan, Iaşi1Soluţie. Se scoate forţat în factor(x 1 + x 2 + x 3 ) 2 şi, după calcule(y 1 + y 2 + y 3 )ce pun în evidenţă y 1 y 2 , y 2 y 3 , y 3 y 1 , se obţineE =1y 1 + y 2 + y 3[y 1 y 2 (a 1 + a 2 ) 2 + y 2 y 3 a 2 2 + y 3 y 1 a 2 1].G212. Se consideră triunghiul ABC cu m(ÒB) = 135 ◦ şi m(ÒC) = 30 ◦ . Determinaţimăsurile unghiurilor triunghiului ABD, unde D este simetricul lui C faţă de B.AEugeniu Blăjuţ, BacăuSoluţia 1 (a autorului). Fie M = Pr BC A şi O mijloculsegmentului AC. Se arată imediat că △MAB esteOdreptunghic isoscel şi că △AOM este echilateral, prinurmare MO = MB, iar m(ÖOMB) = 30 ◦ . Rezultă căm(ÖOBM) = 75 ◦ , deci m(ÕOBC) = 105 ◦ . Pe de altă parte, M D B COB este linie mijlocie în △CAD, aşadar OB∥AD şi atunci m(ÕADC) = 105 ◦ , apoim(ÕDAB) = 30 ◦ .63