Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

a) RQ ⊥ AD şi RQ = AD;b) RE = F Q = CP şi P Q = EF .Claudiu-Ştefan Popa, IaşiG225. Lucian-Georges are o placă triunghiulară omogenă ABC de masă 40 şi obalanţă cu două talere. El doreşte să taie placa ABC după m drepte paralele cu BCastfel încât, folosind aceste plăci ca greutăţi dispuse pe talerele dorite ale balanţei, săpoată cântări orice obiect cu masa număr natural n, cu 1 ≤ n ≤ 40. Cum îl sfătuiţisă procedeze, astfel încât m să fie minim posibil?Dan Brânzei, IaşiB. Nivel licealL126. Tangentele unghiurilor unui triunghi ABC sunt numere raţionale. Arătaţică numerele E n = sin n A · sin n B · sin n C + cos n A · cos n B · cos n C sunt raţionale,oricare ar fi n ∈ N.Cătălin Calistru, IaşiL127. Măsurile unghiurilor B şi C ale triunghiului ABC sunt de 70 ◦ , respectiv30 ◦ . Pe latura AB se consideră punctele E şi F astfel încâtÕACE ≡ÕECF ≡ÕF CB.Fie AD înălţimea din A, D ∈ BC, iar {M} = AD ∩ CF. Demonstraţi că MB estebisectoarea unghiuluiÖDMF .Eugeniu Blăjuţ, BacăuL128. Fie ABC un triunghi isoscel cu AB = AC şi D un punct pe latura BC.Considerăm punctele E şi F pe laturile AB, respectiv AC astfel încât BD = DE şiCD = CF. Notăm {T } = BF ∩ CE. Arătaţi că patrulaterul BDT E este inscriptibildacă şi numai dacă patrulaterul DCF T este inscriptibil.Titu Zvonaru, ComăneştiL129. Fie date un triunghi ABC şi numerele naturale m ≥ n ≥ 1. Construiţi curigla şi compasul punctele A ′ din planul triunghiului pentru care triunghiul A ′ BC areperimetrul şi aria de m, respectiv n ori mai mare decât cele ale triunghiului ABC.Temistocle Bîrsan, IaşiL130. a) Fie n ∈ N, n ≥ 10. Arătaţi că există o infinitate de n-uple (x 1 , x 2 , . . . , x n ),cu x i ∈ (0, 1), ∀i = 1, n şi x i =nPi=1n 2 .b) Pentru un n-uplu ca la a), notăm E n = x 1x 2+1 − x 1 (1 − x 1 )(1 − x 2 ) + . . . +x n(1 − x 1 ) . . . (1 − x n ) . Arătaţi că 1se exprimă ca număr zecimal în care celE n + 1puţin primele 3 ·hnsunt zerouri.10izecimaleCecilia Deaconescu, PiteştiL131. Fie n un număr natural impar. Stabiliţi câte numere naturale nenule pau proprietatea că p 2 + n 2 este pătrat perfect şi determinaţi cel mai mare asemeneanumăr.Marian Panţiruc, Iaşi77