Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

Soluţia 2. Într-un sistem cartezian xOy, ecuaţia (x−3)2 +(y −3) 2 = 1 reprezintăun cerc de centru Q(3, 3) şi rază r = 1. Fie A(1, 1) şi M(x, y) un punct situatpe cerc, atunci x − 1y − 1 = 1 , unde m AM este panta dreptei AM. Fracţia x − 1m AM y − 1are valoare minimă atunci când m AM este maximă, decicând AM coincide cu tangenta ,,superioară” AT 2 lacerc. Analog, x − 1y − 1 are valoare maximă dacă m AM esteminimă, adică atunci când AM coincide cu tangenta ,,inferioară”AT 1 la cerc. Găsim imediat ecuaţiile tangentelorAT 1 : y − 1 = 4 − √ 7(x − 1), AT 2 : y − 1 =34 + √ 7(x − 1) şi coordonatele punctelor de contact cu3+ √ 7cercul: T 1‚11, 11 − √ 7−Œ, √ 7respectiv T 2‚114 4 4x − 1= 1 = 4 − √ 7, iary − 1‹min m AT2 3yOA.x − 1= 1 = 4 + √ 7.y − 1‹max m AT1 3T 2. . Q ..T 1M, 11 + √ 74Œ. Rezultă căProblema 1. Fie x, y numere reale astfel încât x 2 − xy − y 2 = 1. Determinaţiminimul şi maximul fracţiei y − 2 . Radu MironxSoluţie. Vom folosi metoda din prima soluţie. Nu putem avea x = 0 (s-ar obţiney 2 = −1, imposibil). Fie t = y − 2 ; atunci y = tx + 2 şi condiţia din ipoteză devinexx 2 (t 2 +t−1)+2x(2t+1)+5 = 0. Cum x ∈ R, impunem ca ∆ x ≥ 0 pentru t 2 +t−1 ≠ 0sau ca t 2 ±+t−1 = 0. Obţinem t ∈ [−3, 2]\¨−1 √ 5«, respectiv t = −1 ± √ 5adică,2 2y − 2în final, t ∈ [−3, 2]. Astfel,= 2, maxim atins pentru x = −1, y = 0 (carex‹maxverifică x 2 − xy − y 2 y − 2= 1), iar= −3, minim atins pentru x = 1, y = −1x‹min(care verifică x 2 − xy − y 2 = 1).Problema 2 (24739 din GM–9/2002). Aflaţi valorile extreme ale funcţiei f : R →R, f(x) = sin x − 3cos x + 2 .Paul Georgescu, Gabriel PopaSoluţie. Dacă A(−2, 3), M(cos x, sin x) sunt puncte în planul xOy, atunci f(x)este chiar panta dreptei AM. Pentru x ∈ R, punctul M parcurge cercul trigonometricşi, cum A ∈ Ext C(O, 1), rezultă că valorile extreme ale funcţei f sunt atinse atuncicând AM este una dintre tangentele duse din A la C.Dreapta prin A : y − 3 = m(x + 2) este tangentă la C dacă distanţa de la origine la|2m + 3|această dreaptă este 1. Obţinem ecuaţia √m2 + 1 = 1, cu soluţiile m 1,2 = −2± 2√ 33 .În concluzie, f min = −2 − 2√ 33şi f max = −2 + 2√ 33 .26x