Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

astfel încât u 2 = z 2 + 4 . Cum x, y, z sunt distincte, impunem ca u ≠ 0, u ≠ ±3z,zadică z 3 ≠ −4, z 3 ≠ − 1 2 şi obţinem soluţiile−v + u, −v − u , v, cu v ∈ C, v ≠ 0,2 2v 3 ≠ −4, v 3 ≠ − 1 2 şi u2 = v 2 + 4 v .În concluzie, sistemul dat admite o infinitate de soluţii.X.125. Dacă x, y ∈ N sunt astfel încât numărulpx 2 + 2y + 1+ 3py 3 + 3x 2 + 3x + 1este raţional, arătaţi că x = y.Gheorghe Iurea, Iaşi√Soluţie. √ Pentru început, vom arăta că dacă a, b ∈ R, a ≥ 0 sunt astfel încâta +3b ∈ Q, atunci √ a ∈ Q şi3√ √ b ∈ Q. Într-adevăr, fie x = a + 3√ b ∈ Q; din3√ √ b = x − a, deducem că b = x 3 − 3x 2 · √a + 3a − a √ a, deci √ a = x3 + 3ax − b3x 2 ∈ Q+ a(dacă 3x 2 + a = 0, concluzia este evidentă). Din x, √ a ∈ Q, urmează că 3√ b ∈ Q.În aceste condiţii, din ipoteza problemei rezultă că x 2 + 2y + 1 este pătrat perfect,strict mai mare ca x 2 , aşadar x 2 + 2y + 1 ≥ (x + 1) 2 , de unde y ≥ x. Analog,y 3 +3x 2 +3x+1 este cub perfect, strict mai mare ca y 3 , deci y 3 +3x 2 +3x+1 ≥ (y+1) 3şi de aici (x − y)(x + y + 1) ≥ 0, prin urmare x ≥ y. În final, deducem că x = y.Clasa a XI-a1 sin A sin C 2 2XI.121. Dat triunghiul ABC, arătaţi că sin A 1 sin B ≤ 1 22sin C sin B 2 .12 2Bogdan Victor Grigoriu, FălticeniSoluţie. Într-un triunghi ABC este adevărată egalitatea sin 2 A 2 + sin2 B 2 +sin 2 C 2 = 1 − 2 sin A 2 sin B 2 sin C şi atunci valoarea determinantului din enunţ este24 sin A 2 sin B 2 sin C 2 = 4r(p − b)(p − c) − a)(p − c) − a)(p − b)·r(p·r(p= 4S2bcacab pabc =SRp = r R . Conform inegalităţii lui Euler R ≥ 2r, acest din urmă raport este ≤ 1 2 .XI.122. Fie A, B ∈ M n (Q) cu A 2 + B 2 = −2I n ; arătaţi că det(AB + BA) ≥ 0.Dumitru Crăciun, FălticeniSoluţie. Observăm că (A + B + i √ 2I n )(A + B − i √ 2I n ) = A 2 + B 2 + 2I n + AB +BA = AB + BA şi atunci det(AB + BA) = det(A + B + i √ 2I n )det(A + B − i √ 2I n ) =1 + a 2 0 . . .’0A 0 0 1 . . . 0=ˆa−1 −a 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 11 + b 2 0 . . .’0şi B 0 0 1 . . . 0 , a, b ∈ Q,=ˆb−1 −b 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1det(A + B + i √ 2I n ) · det(A + B + i √ 2I n ) = (det(A + B + i √ 2I n )) 2 ≥ 0.Notă. Există matrice A, B care verifică ipoteza A 2 + B 2 = −2I n . De exemplu,59