Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

p ∈ N ∩ G, atunci p ∈ H, prin urmare p + a ∈ H şi (p + a) ′ = a + 1 ∈ H. Deducempcă a + m şi a + 1 sunt în H, deci (a + m) ∗n aastfel Q ∩ G ⊂ H.+ 1 n‹=a + m n∈ H, adică q ∈ H şiXII.122. Fie n ∈ N, n ≥ 2 şi polinomul f = X n − 2nX n−1 + (2n 2 − 4)X n−2 +a 3 X n−3 + . . . + a n ∈ C[X]. Demonstraţi că f are toate rădăcinile reale dacă şi numaidacă n = 2.Florin Stănescu, GăeştiSoluţie. Dacă n = 2, atunci f = X 2 −4X+4 are rădăcinile x 1 = x 2 = 2. Reciproc,fie x 1 , x 2 , . . . , x n rădăcinile lui f, presupuse reale. Cum (x 1 + x 2 + . . . + x n ) 2 ≤n(x 2 1 + x 2 2 + . . . + x 2 n), rezultă că 4n 2 ≤ 8n, deci n ≤ 2 şi atunci n = 2.XII.123. Calculaţi I =Zarccos0√659tg x √ sin xdx.Vasile Chiriac, Bacău9 s √ sSoluţie. Cu schimbarea de variabilă sin x = s, obţinem că I =Z40 1 − s 2 ds.Apoi, substituţia √ s = t conduce laI =Z2302t 41 − t 4 dt = −2t + arctg t − 1 2 ln 1 − tt‹231 +0= − 4 3 + arctg 2 3 + ln √ 5.XII.124. Fie f : R → R o funcţie continuă cu proprietatea că (f ◦ f)(x) = sin x,∀x ∈ R. Demonstraţi căZ1f(x)dx ≤ 1.0Dumitru Crăciun, FălticeniSoluţie. Din (f ◦f)◦f = f ◦(f ◦f), deducem că sin f(x) = f(sin x), ∀x ∈ R; atuncif(sin x) ≤ 1, ∀x ∈ R, prin urmare f(sin x) · cos x ≤ cos x, ∀x ∈h0, π Integrând pe2i.h0, π 2rezultă căZπf(sin x) · (sin x)2i, ′ 2dx ≤ sin xπ, adicăZ1f(x)dx ≤ 1.0Rămâne întrebarea: există vreo funcţie f care să verifice ipoteza?XII.125. Fie f : [0, 1] → R o funcţie derivabilă cu f ′ integrabilă. Dacă f(0) = 0,arătaţi căZ1(f ′ (t)) 2 dt ≥Z1f 2 (t)dt.0Soluţie. Pentru x ∈ [0, 1], avem căf(x) =Zxf ′ (t)dt ≤Zx000|f ′ (t)|dt ≤ÊZx000Ciprian Baghiu, Iaşi(f ′ (t)) 2 ≤ÊZ1dt (f ′ (t)) 2 dt,0deci f 2 (x) ≤Z1(f ′ (x)) 2 dx. Integrând pe [0, 1], obţinem cerinţa problemei.061