Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

IX.122. Fie a, b, c ∈ R cu b ≥ c > 0 şi a b ≥ 1 + √ 5. Dacă numerele a, b, c pot fi2laturile unui triunghi, demonstraţi că şi 1 a , 1 b , 1 pot fi laturi ale unui triunghi.cSoluţie. Evident că a > b ≥ c (deoarece 1 + √ 52Ovidiu Pop, Satu Mare> 1) şi c > a − b (întrucât a, b, cpot fi laturi ale unui triunghi). Întrucât 1 a < 1 b ≤ 1 , va fi suficient să demonstrămccă 1 c < 1 a + 1 , echivalent cu c >abba − b >a + b .Vom arăta chiar mai mult, anume căaba + b ; după calcule, această inegalitate revine la a2 − ab − b 2t 2 − t − 1 ≥ 0, unde t = a ∈–1 + √ 5, ∞Œ, fapt evident adevărat.b 2≥ 0 sauIX.123. Considerăm patrulaterul ABCD şi fie M, N, P, Q mijloacele laturilorAB, BC, CD respectiv DA, iar T un punct interior patrulaterului. Notăm cu G 1 , G 2 ,G 3 şi G 4 centrele de greutate ale patrulaterelor T NCP, T P DQ, T QAM, T MBN.Arătaţi că −−→ AG 1 + −−→ BG 2 + −−→ CG 3 + −−→ DG 4 = −→ 0 dacă şi numai dacă {T } = MP ∩ NQ.Florin Stănescu, GăeştiSoluţie. Fie G centrul de greutate al patrulaterului ABCD, adică {G} = MP ∩NQ; atunci −−→ AG 1 + −−→ BG 2 + −−→ CG 3 + −−→ DG 4 = −→ 0 ⇔ 1 4 (−→ AT + −−→ AN + −→ AC + −→ AP ) + 1 4 (−→ BT +−→BP + −−→ BD + −→ 1 BQ) +4 (−→ CT + −→ −→ −−→ 1CQ + CA + CM) +4 ( −→ −−→ −−→ −−→DT + DM + DB + DN) =−→ −→ −→ −→ −→ 10 ⇔ ( AT + BT + CT + DT ) +2 ( −→ −→ 1AB + AC) +2 ( −→ −→ 1AD + AC) +2 ( −→ −−→ BC + BD) +12 ( −→ −−→ 1BA + BD) +2 (−−→ CD + −→ CA) + 1 2 (−→ CA + −→ 1 CB) +2 ( −→ −−→ 1DA + DB) +2 (−−→ DB + −−→ DC) = −→ 0 ⇔4 −→ GT = −→ 0 ⇔ G = T ⇔ {T } = MP ∩ NQ.IX.124. Dacă ABCD este un patrulater inscriptibil, arătaţi că BC 2 · S ACD +CD 2 · S ABC = AC 2 · S BCD .D.M. Bătineţu-Giurgiu, BucureştiSoluţie. Din teorema lui Ptolemeu, BC · AD + CD · AB = AC · BD. Atunci:BC 2 · S ACD + CD 2 · S ABC = BC 2 · AD · CD · sin(π − B)++ CD 2 · AB · BC · sin B = BC · CD · (BC · AD + CD · AB) · sin B =BD · sin B= BC · CD · AC · BD · sin B = 2 · AC · S BCD · =sin C= 2 · AC · S BCD · 2R · sin B = 2 · AC 2 · S BCD .IX.125. Dacă x, y ∈ R, x > y > 1, arătaţi că xy + 4 > x + 3y.Dan Nedeianu, Drobeta Tr. SeverinSoluţie. Considerăm funcţia f : [y, ∞) → R, y > 1 fixat, f(x) = x(y −1)+4−3y.Funcţia f este stirct crescătoare (deoarece y − 1 > 0) şi, cum f(y) = (y − 2) 2 ≥ 0,rezultă că pentru x > y, f(x) > f(y) ≥ 0 şi de aici inegalitatea cerută.57