Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

Soluţie. Fie P un semiplan limitat de linia centrelor O 1 O 2 , {A 1 } = P ∩ C 1şi {A 2 } = P ∩ C 2 . În semiplanul P , generatoarele O 2 A 1 şi O 1 A 2 se intersecteazăîn M, iar paralela prin M la A 1 O 1 taie O 1 O 2 în O. Din AO△MO 1 A 1 ∼△MA 2 O 2 rezultă că MA 1MO 2= R 1R 2. Cu teorema luiThales obţinem că OO 1= R 1, prin urmare OO 2 = ·OO 2 R 2 R 1 + R 2O 1 O 2 (1), relaţie ce determină poziţia lui O pe segmentulO 1 O 2 . În △O 2A 1 O 1 cu MO∥A 1 O 1 avem căMO = O 2O,A 1 O 1 O 2 O 1R 22 2adică MO = R 1R 2R 1 + R 2(2).În concluzie, conurile K 1 şi K 2 se intersectează după un cerc situat în planul paralelcu P 1 (şi cu P 2 ) şi care trece prin punctul O precizat de (1), are centrul în O şi razaOM dată de (2).Notă. Problema poate fi generalizată la cazul în care vârfurile V 1 şi V 2 aleconurilor K 1 şi K 2 sunt situate arbitrar pe dreapta O 1 O 2 (şi nu neapărat V 1 ≡ O 2şi V 2 ≡ O 1 ). Situaţia se reduce la cea tratată anterior prin înlocuirea planelor P 1 şiP 2 cu planele P ′ 1 (paralel cu P 1 prin punctul V 2 ) şi, respectiv, P ′ 2 (paralel cu P 2 prinpunctul V 1 ).B. Nivel licealL206. Fie P un punct pe mediana din A a triunghiului ABC. Paralela prin P laAC taie AB în M, iar simetricul lui P faţă de mijlocul lui AC este N. Arătaţi căMN∥BC dacă şi numai dacă P este centrul de greutate al triunghiului ABC.Silviu Boga, IaşiSoluţie.Fie T mijlocul lui (BC), k = APATşi {R} = AN ∩ BC. Din MP ∥QT rezultă că AMAQ = APAT∈ (0, 1), T Q∥MP (cu Q ∈ AB)A1MOO= k; însă T Q este liniemijlocie în △ABC, prin urmare AQ = 1 AB şi deducemcă AMMA2AB = k . Observăm că AP CN este paralelogram,aşadar AT ∥CN, de unde RNQ P2 NRA= NCAT =APAT= k, deci ANAR = 1 − k. Astfel, MN∥BC ⇔AMB T C RAB = ANAR ⇔ k 2 = 1 − k ⇔ k = 2 ⇔ P este centrul de greutate al △ABC.3Notă. Soluţie corectă a dat dl. Ioan Viorel Codreanu, Satulung (Maramureş).L207. Fie ABCD un patrulater convex şi M, N, P puncte pe segmentele AB, CDrespectiv BC astfel încât MBAB= NDDC = BPBC = k. Dacă R şi S sunt mijloaceleRSsegmentelor AP respectiv MN, calculaţi (în funcţie de k) raportulAD .Titu Zvonaru, Comăneşti651