Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

More documents

Recommendations

Info

Dubla inegalitate a lui Blundon revizitatăTemistocle BÎRSAN 1Abstract. In the case of Blundon ′ s inequalities, the conditions when the equality holds in theleft hand side are different from the ones in the right hand side. The purpose of the present note isto establish this well known result in a geometric way.Keywords: Blundon ′ s inequalities, circumcenter, incenter, nine-point center.MSC 2000: 51M16.1. Introducere. În 1965, W.J. Blundon a arătat în [2] că într-un triunghioarecare are loc următoarea dublă inegalitate:Propoziţia 1.În orice triunghi are loc dubla inegalitate:(1)2R 2 +10Rr − r 2 −2 (R − 2r)ÈR(R − 2r)≤ p 2 ≤≤ 2R 2 +10Rr − r 2 +2 (R − 2r)ÈR(R − 2r),unde p, R, r au semnificaţiile obişnuite.În [4], Al. Lupaş stabileşte pe cale algebrică condiţiile în care inegalităţile din(1) devin egalităţi:Propoziţia 2. 1) Are loc egalitate în partea stângă a relaţiilor (1) dacă şi numaidacă triunghiul este echilateral sau este isoscel cu baza mai mare ca laturile egale.2) Are loc egalitate în partea dreaptă dacă şi numai dacă triunghiul este echilateralsau este isoscel cu baza mai mică decât laturile egale.D. Andrica şi C. Barbu în [1] şi M. Drăgan, M. Haivas şi I.V. Mafteiîn [3] (v. pag. 20-21 ale acestui număr de Recreaţii Matematice) dau demonstraţiigeometrice diferite inegalităţilor lui Blundon, fără a ajunge geometric la condiţiile deegalitate menţionate în Propoziţia 1.Scopul acestei Note este de a da inegalităţilor (1) o demonstraţie geometrică simplăşi completă (incluzând condiţiile de egalitate).2. Consideraţii preliminare. Amintim mai întâi că într-un triunghi oarecaresunt adevărate relaţiile următoare:(2)(3)(4)OI 2 = R(R − 2r),OH 2 = 9R 2 + 8Rr + 2r 2 − 2p 2 = 9R 2 − (a 2 + b 2 + c 2 ),OO 9 = 1 2 OH,unde O 9 notează centrul cercului celor nouă puncte (mijlocul segmentului [OH]),celelalte notaţii fiind binecunoscute, şi relaţia lui Sondat (de ex., [6], p. 118):(5) S OIH = 1 |(a − b)(b − c)(c − a)| .8r 1 Prof. dr., Univ. Tehnică ,,Gh. Asachi”, Iaşi22
Se ştie că punctul I aparţine dreptei lui Euler [OH] dacă şi numai dacă triunghiuleste isoscel, după cum rezultă imediat din (5).Fie ABC un triunghi isoscel cu BC = a şi AB = AC = l. În acest caz, puncteleO, H, I, O 9 , A şi A ′ (mijlocul laturii [BC]) sunt coliniare, se află pe axa triunghiului.Ţinând seama de formulele R = abc4S şi r = S , deducem căp(6) R =l 2√4l2 − a 2 , r = a√ 4l 2 − a 22(2l + a) .Putem acum să demonstrăm cu uşurinţă următoareaLemă. În triunghiul isoscel ABC , cu BC = a şi AB = AC = l, are locrelaţia:(7) OI 2 − OO9 2 = (l − a)3 (3l + a)4(4l 2 − a 2 .)Demonstraţie. Coroborând relaţiile (2), (3), (4) şi (6), putem scrie:OI 2 − OO 2 9 = R(R − 2r) − 1 4”9R 2 − (2l 2 + a 2 )—= 1 4€2l 2 + a 2 − 5R 2 − 8RrŠ=1=4(4l 2 − a 2 )€3l 4 + 6a 2 l 2 − a 4 − 8al 3Š==de unde relaţia cerută.14(4l 2 − a 2 )”€l 4 − a 4Š+€2l 4 − 2al 3Š+€6a 2 l 2 − 6al 3Š—=l − a=4(4l 2 − a 2 )€3l 3 + a 2 l + a 3 − 5al 2Š=l − a=4(4l 2 − a 2 )”€3l 3 − 3al 2Š+€a 2 l − al 2Š+€a 3 − al 2Š—=(l − a)2=4(4l 2 − a 2 )€3l 2 − 2al − a 2Š= (l − a)3 (3l + a)4(4l 2 − a 2 ,)Poziţia punctului I ∈ [OH] faţă de O 9 este dată dePropoziţia 3. În condiţiile anterioare relativ la triunghiul ABC , au loc afirmaţiile:1) I ∈ (HO 9 ) ⇔ l > a; 2) I ∈ (OO 9 ) ⇔ l < a; 3) I ≡ O 9 sau I ≡ O sauI ≡ H ⇔ l = a (triunghiul ABC este echilateral).Demonstraţie. Utilizăm Lema precedentă. Avem:1) I ∈ (HO 9 ) ⇔ OI > OO 9 ⇔ OI 2 − OO 2 9 > 0 ⇔ (l − a) 3 > 0 ⇔ l > a . La fel sedovedesc şi afirmaţiile 2) şi 3).3. Demonstraţie geometrică a Propoziţiilor 1 şi 2. Inegalităţile (1) se obţinuşor prin aplicarea inegalităţilor triunghiulare în triunghiul IOO 9 , anume(8) OI − IO 9 ≤ OO 9 ≤ OI + IO 9 .23
Page 1 and 2: Anul XIV, Nr. 1Ianuarie - Iunie 201
Page 3: Anul XIV, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7: dar s-a mirat că memoriul său n-a
Page 8 and 9: domenii noi şi actuale, prof. Adol
Page 10 and 11: Exerciţiul 1. Fie b ≥ 2 un numă
Page 13 and 14: · · · + a s+t−1 − a s+t , q
Page 15 and 16: Aplicaţii ale numerelor complexeî
Page 17 and 18: ne-am folosit şi de inegalitatea c
Page 19 and 20: Teorema 3. Fie ρ ∈ [0, ∞]. Atu
Page 21 and 22: Problema 8. Confirmaţi sau infirma
Page 23 and 24: Remarca 2. Deşi Goehl, în [2], pr
Page 25: Lema 2. În triunghiul OHI are loc
Page 29 and 30: Asupra unei probleme de extremRadu
Page 31 and 32: Une classe spéciale de matrices ca
Page 33 and 34: 4. Un exemple de B-matrice de M 4 (
Page 35 and 36: toutes ses valeurs propres sont nul
Page 37 and 38: Clasa a IX-a1. Să se determine cel
Page 39 and 40: corespunzătoare. În acest caz, pu
Page 41 and 42: Vom exprima această condiţie în
Page 43 and 44: Pentru x = π 2 ∈ (−π, π), av
Page 45 and 46: Colegiul Naţional ,,Mihai Eminescu
Page 47 and 48: condus şcoala până în septembri
Page 49 and 50: Concursul ,,Recreaţii Matematice
Page 51 and 52: Concursul interjudeţean ,,Speranţ
Page 53 and 54: Soluţiile problemelor propuse în
Page 55 and 56: Soluţia 2 (Cătălin Gulin, elev,
Page 57 and 58: faţă de C şi mediana din B taie
Page 59 and 60: Soluţie. Folosind faptul că patru
Page 61 and 62: IX.122. Fie a, b, c ∈ R cu b ≥
Page 63 and 64: astfel încât u 2 = z 2 + 4 . Cum
Page 65 and 66: p ∈ N ∩ G, atunci p ∈ H, prin
Page 67 and 68: (6, 1, 2). Analog, când c = 1 vom
Page 69 and 70: Soluţie. Fie P un semiplan limitat
Page 71 and 72: Soluţia 1. Raportăm planul la un
Page 73 and 74: a) Fie n ∈ N ∗ care verifică {
Page 75 and 76: P.234. Aflaţi numerele naturale a
Page 77 and 78:
VII.147. Trapezul dreptunghic ABCD
Page 79 and 80:
XI.127. Fie (x n ) n∈N ∗ un şi
Page 81 and 82:
a) RQ ⊥ AD şi RQ = AD;b) RE = F
Page 83 and 84:
|{z}n timeG220. Determine the digit
Page 85 and 86:
Pagina rezolvitorilorCRAIOVAColegiu
Page 87 and 88:
RecenzieD. Brânzei şi Al. Negresc
Page 89 and 90:
Revista semestrială RECREAŢII MAT
show all

Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?