Revista (format .pdf, 2.3 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

2. Propoziţie. Fie z 1 , z 2 , z 3 numere complexe distincte de modul 1 şi A, B, Cpunctele de afixe z 1 , z 2 , respectiv z 3 . Dacă este adevărată una dintre egalităţile:(z 1 + z 2 ) 2+ (z 2 + z 3 ) 2+ (z 3 + z 1 ) 2(5)= 3;z 1 z 2 z 2 z 3 z 3 z 1 (6) z 1 z 2(z 1 − z 2 ) 2 + z 2 z 3(z 2 − z 3 ) 2 + z 3 z 1(z 3 − z 1 ) 2 = −1;z 1 + z 2+z 1 − z 2‹2z 2 + z 3+z 2 − z 3‹2z 3 + z 1(7)= −1;z 3 − z 1‹2(8) z 1 + z 2· z2 + z 3· z3 + z 1=iz 1 − z 2 z 2 − z 3 z 3 − z 1 3 √ şi △ABC ascuţiunghic;3|z 2 + z 3 | 4|z 1 − z 2 − z 3 | + |z 3 + z 1 | 4|z 2 − z 3 − z 1 | + |z 1 + z 2 | 2(9)|z 3 − z 1 − z 1 | = 3 2 ,atunci triunghiul ABC este echilateral.Demonstraţie. Ţinând seama de (2), relaţia (5) se poate scrie sub forma cos 2 A+cos 2 B + cos 2 C = 3 4 . Însă în orice triunghi are loc inegalitatea cos2 A + cos 2 B +cos 2 C ≥ 3 , egalitatea fiind atinsă în cazul în care △ABC este echilateral (inegalitatea4GU.1. din [2]). Rezultă că (5) atrage faptul că triunghiul este echilateral.În cazul egalităţilor (6) şi (7) procedăm similar, ţinând seama că inegalităţile1sin 2 A + 1sin 2 B + 1sin 2 C ≥ 4 şi ctg2 A+ctg 2 B +ctg 2 C ≥ 1, valabile în orice triunghi,devin egalităţi doar pentru triunghiul echilateral (GU.21. şi GU.50. din [2]).Relaţia (8) conduce, prin ridicare la pătrat şi folosind (3), la ctg 2 A · ctg 2 B ·ctg 2 C = 1 27 , adică tg A · tg B · tg C = 3√ 3 (am ţinut seama de faptul că △ABC esteascuţitunghic).Însă tg A + tg B + tg C = tg A · tg B · tg C, deci 27 = (tg A + tg B +tg C) 2 =Ptg 2 A+2Ptg A ctg B ≥ 3· 3ÈQtg 2 A+2·3· 3ÈQtg A · tg B = 9+18 = 27şi deducem că tg 2 A + tg 2 B + tg 2 C = 9. Astfel, se atinge egalitatea în inegalitateaGU.39. din [2] (tg 2 A + tg 2 B + tg 2 C ≥ 9), aşadar △ABC este echilateral.Observăm că (1) conduce, prin conjugare, la cos 2 A = (z 2 + z 3 ) 2, deci cos 4 A =4z 2 z 3[(z 2 + z 3 )(z 2 + z 3 )] 2= |z 2 + z 3 | 416z 2 z 2 · z 3 z 3 16|z 2 | 2 |z 3 | 2 = 1 16 |z 2 + z 3 | 4 ; rezultă că relaţia (9) se poaterescrie sub forma cos4 AAΩ+ cos4 BBΩobţinem că (AΩ+BΩ+CΩ) 2 ≤ 3(AΩ 2 +BΩ 2 +CΩ 2 ) = 3·3 · 1 + 114+ cos4 CCΩ = 3 . Pe de altă parte, utilizând (4)16 8 cos A · cos B · cos C + 11≤4= 9, deci AΩ + BΩ + CΩ ≤ 3. Inegalitatea lui Bergström arată că3=Xcos4 A16 AΩ ≥ (Pcos2 A)PAΩ2≥ (Pcos2 A) 2≥ 1 3 33=4‹23 16 ;12