Multimodale Segmentierung und Klassifikation zerebraler Läsionen ...

Methoden 7
Abbildung 4: Wassergehalt vs. T ∗ 2
für verschiedene Läsionen. Die unterschiedlichen Datenpunkte
der Läsionen sind durch verschiedene Farben und Symbole voneinander unterscheidbar.
3.2 Hauptkomponentenanalyse
Die Hauptkomponentenanalyse arbeitet mit multivariaten Datensätzen, deren Dimension der
Anzahl an Variablen entspricht (z.B. drei für T1, T ∗ 2 und H2O). Das wichtigste Ziel der PCA ist
die Reduktion der Dimensionen. Aus dem Anfangssatz von Variablen werden die Hauptkompo-
nenten, latente Variablen, berechnet. Diese Hauptkomponenten sind Linearkombinationen der
ursprünglichen Variablen. Nun kann man mit wenigen Variablen ein vorher viel komplexeres
Problem darstellen (siehe Abb. 5). Dies hilft mehrdimensionale Probleme auf zwei- oder dreidi-
mensionale Probleme zu vereinfachen. Somit ist es auch möglich, die Objekte des multivariaten
Datensatzes graphisch darzustellen, um so ihre Beziehung oder Ähnlichkeiten aufzuzeigen. Die
Haupkomponentenanalyse ist bei Datensätzen mit korrelierten Variablen besonders geeignet, da
solche Variablen zusammengefasst werden können. Damit ein Datensatz unter einem möglichst
kleinem Informationsverlust zu einer geringeren Dimension transformiert werden kann, sollte
jede Hauptkomponente einen möglichst großen Anteil der Varianz der Daten erklären, die noch
nicht von einer anderen Hauptkomponente beschrieben wurde. Die Hauptkomponenten sind
deshalb unkorreliert.
Mathematisch gesehen handelt es sich bei der PCA um das Lösen eines Eigenwertproblems. Man
betrachtet dazu n Zufallsvariablen X1, ..., Xn mit der Dimension m. Wobei n ≥ 2 und m ≥ 1 ist.
Somit weißt die zugehörige Datenmatrix X die Dimension mxn auf und besteht aus m Objekten
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