Multimodale Segmentierung und Klassifikation zerebraler Läsionen ...

Methoden 9
Ausgangspunkt:
viele Objekte, viele Daten → unübersichtlich
Variablen der Ausgangsmatrix: V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10
Ziel
wenige unabhängige Variablen → übersichtlich
V 1V 3V 9
Komponente1
V 2V 4V 5V 10
Komponente2
V 6V 7V 8
Komponente3
Jedes Objekt wird beschrieben → Datenreduktion
Abbildung 5: PCA Prinzip [10].
erwartungstreue Aussagen aus multivariaten Analysemethoden, wie die Hauptkomponentenanaly-
se oder Diskriminanzanalyse, ziehen zu können. Einen solchen robusten Schätzer liefert die die
Minimum Covariance Determinant(MCD) Methode [13].
3.3.2 Methode
Der Ansatz von MCD ist es, h aus n Beobachtungen zu finden, deren Kovarianzmatrix die
kleinste Determinate besitzt. Im dreidimensionalen bestimmt die Determinante das Volumen
eines Parallelepipeds und die Kovarianzmatrix beschreibt ein Ellipsoid. Daher kann man für die
dreidimensionalen Daten der Arbeit sagen, dass das kleinste Volumen eines Ellipsoids gesucht
wird. Die Methode sollte auch noch bei möglichst vielen Ausreißern funktionieren. In diesem
Fall gilt für h:
n
2
≤ h < n,
so dass, wenn bis zu 50% der Daten Ausreißer sind, ein erwartungstreues Ergebnis gefunden
werden kann. Darüber hinaus ermöglicht die Methode große Datenmengen schnell zu berechnen.
Basis des Algorithmus ist Satz 1.
Satz 1 (Basisschritt) Man betrachtet einen Datensatz Xn = (x1, ..., xn) von p-variaten Beobachtungen.
Dabei ist H1 ⊂ (1, ..., n) mit |H1| = h. Man bestimmt T1 = 1
h i∈H1 xi und
S1 = 1
h i∈H1 (xi − T1) (xi − T1) ′ . Falls det(S1) = 0, können die relativen Distanzen bestimmt
werden:
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