Multimodale Segmentierung und Klassifikation zerebraler Läsionen ...

Methoden 11
der kleinsten Determinante beschreibt. Das richtige Auswählen der Teilmengen H1, zum Starten
des Algorithmus, ist entscheidend für das Resultat. Zwei Möglichkeiten zum Auswählen der
Teilmenge werden im Folgenden betrachtet:
1. Man wählt zufällig eine h-Teilmenge H1 aus der Gesamtmenge aus. Dabei werden mindes-
tens 50% der Beobachtungen ausgewählt.
2. Man wählt zufällig eine (p+1)-Teilmenge aus der Gesamtmenge aus, hierbei ist p die
Anzahl an Variablen. Nach der Auswahl von (p+1) Beobachtungen wird T0 = mean(J)
und S0 = cov(J) berechnet. Sollte det(S0) = 0 sein wird eine weitere Beobachtung
zufällig hinzugefügt. Dies wird solange wiederholt bis det(S0) > 0 ist.
Im folgenden Beispiel sollen die Unterschiede zwischen den beiden Auswahlmethoden verdeut-
licht werden. Dafür betrachten wir einen Datensatz mit 400 Beobachtungen und p = 2 Variablen.
205 dieser Beobachtungen sind folgenderweise normal verteilt:
N1 =
0
0
,
1
0
0
2
und 195 sind
N2 =
10
0
,
2 0
0 2
Hierbei ist N1 die gesuchte Menge und N2 die Menge der Ausreißer. Abbildung 6 zeigt den
2D-Plot des Datensatzes. Es ist leicht ersichtlich, dass es viel schwieriger ist mit Methode 1
eine Teilmenge auszuwählen, die aus nur nicht verrauschten Beobachtungen besteht, als dies
für Methode 2 der Fall ist. Bei Methode 1 würde MCD die Ausreißer genauso berücksichtigen
und damit die entsprechende Ellipse falsch berechnen (siehe Abb. 7). Für ansteigende m ist
die Wahrscheinlichkeit eine „saubere“, ohne Noise, (p+1)-Teilmenge aus m zufällig gewählten
(p+1)-Teilmengen zu bekommen:
1 − (1 − (1 − ɛ) p+1 ) m > 0,
wobei p die Anzahl Variablen und m die Anzahl von zufällig gewählten Teilmengen ist. Dabei ist
ɛ der Prozentwert der Ausreißer. Im Gegensatz dazu ist die Wahrscheinlichkeit eine “saubere”
h-Teilmenge zu bekommen annähernd null.
Daher ist es gerade bei solchen Grenzfällen sinnvoll, die (p+1)-Teilmenge als Startmenge zu
nutzen. Der Algorithmus läuft dann wie in Abbildung 8 beschrieben ab. Im zweiten Teil der
Methode werden 50% der Punkte ausgewählt, wobei man nach Möglichkeit 1 zum Auswählen
der Teilmenge wie auf Seite 11 beschrieben vorgeht. Dies garantiert, durch die höhere Anzahl an
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