Lineare algebraische Gruppen - GWDG

100 7 Wurzelsysteme und Dynkin-Diagramme
Um eine Übersicht über die möglichen Wurzelsysteme zu bekommen, ist
der folgende Satz nützlich. Man beachte dabei, dass R nach 7.2 endlich ist.
Satz
Seien α, β zwei nicht-proportionale Wurzeln in R . Dann gelten:
a) Die Menge I := {j ∈ Z | β + jα ∈ R} ist ein Intervall [−q, p] in Z , das
0 enthält.
b) Die Menge S := {β + jα | j ∈ I} erfüllt σα(S) = S , und es gelten
σα(β + pα) = β − qα und p − q = −n(β, α) .
c) Für den Ursprung γ := β − qα von S gilt −n(γ, α) = p + q , und es ist
S = {γ + jα | 0 j −n(γ, α) } mit −n(γ, α) = 0, 1, 2 oder 3 .
Beweis. Es ist 0 ∈ I . Sei p das größte und −q das kleinste Element in I .
Angenommen, es gibt eine ganze Zahl in [−q, p], die nicht in I liegt. Dann
gibt es Elemente r, s ∈ [−q, p] mit r + 1 < s , die beide in I liegen und für
die r+1 /∈ I und s−1 /∈ I gelten. Es ist also α+(β+rα) = β+(r+1)α /∈ R ,
woraus nach dem Lemma n(α, β + rα) 0 folgt. Da s − 1 /∈ I gilt, folgt
(β+sα)−α = β+(s−1)α /∈ R und also nach dem Lemma n(β+sα, α) 0 .
Da n(β, α) 0 genau dann gilt, wenn 〈β, α〉 0 ist, folgt 〈α, β + rα〉 0
und 〈α, β + sα〉 0 . Dies ist ein Widerspruch, da r < s und 〈α, α〉 > 0 gilt
und also 〈α, β + rα〉 < 〈α, β + sα〉 ist. Es folgt a).
Nach 7.1 ist σα(β +jα) = β −n(β, α)α−jα = β +j ′ α mit j ′ = −n(β, α)−j.
Es folgt σα(S) ⊂ S und S ⊂ σα(S) , da σ2 α = id . Also ist σα(S) = S . Die
Abbildung I → I , j ↦→ j ′ ist bijektiv. Es gilt i ′ < j ′ für i > j . Es folgt
p ′ = −q und σα(β + pα) = β − qα sowie p − q = −n(β, α), also gilt b).
Es gilt n(γ, α) = n(β − qα, α) = 2 〈β−qα,α〉
〈α,α〉 = n(β, α) − 2q = −p + q − 2q =
−p − q . Da α und γ nicht proportional sind, ergibt die Tabelle oben, dass
|n(γ, α)| 3 gilt. Die Menge S hat p+q+1 Elemente nach a). Es folgt c).
Folgerung
Wir wenden nun Satz c) für β = γ an und erhalten dabei genau folgende
vier Möglichkeiten (vgl. auch die obige Tabelle):
1. S = {β} : Dann ist n(β, α) = 0 = n(α, β) und ∡(α, β) = π
2 .
2. S = {β, β + α} : Dann ist n(β, α) = −1 , und es gibt drei Fälle:
1. Fall: Es ist n(α, β) = −1 , also β = α und ∡(α, β) = 2π
3 sowie
∡(α, β + α) = π
3 = ∡(β + α, β) .
2. Fall: Es ist n(α, β) = −2 , also α = √ 2 β und ∡(α, β) = 3π
4
sowie ∡(α, β + α) = π
2π
4 und ∡(β + α, β) = 4 . (Hier ist α länger als β ,
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007