Lineare algebraische Gruppen - GWDG

48 2 Affine algebraische Varietäten
folgt Ax1 = IA x1 = Ix1 . Es gibt also ein y ∈ I so, dass x1 = yx1 gilt. Für
a = 1 − y folgt dann a − 1 ∈ I und ax1 = 0, also aB = {0}.
Sei n > 1. Der A-Modul B ′ = B/Axn wird von n−1 Elementen erzeugt, und
es gilt B ′ = IB ′ . Nach Induktionsvoraussetzung gibt es ein a ∈ A so, dass
a − 1 ∈ I und aB ′ = {0} gilt. Letzteres impliziert aB ⊂ Axn . Da B = IB
gilt, folgt außerdem aB = IaB ⊂ IAxn = Ixn . Es ist also axn = yxn mit
einem y ∈ I. Hieraus folgt, da aB ⊂ Axn gilt, dass (a − y)aB = {0} ist.
Ferner gilt (a − y)a ≡ 1 mod I, denn es ist a = 1 + x mit einem x ∈ I.
Bemerkung
Sei α: V → W ein Morphismus von Varietäten. Dann heißt α dominant,
wenn das Bild α(V ) dicht in W ist. Sind V und W affine Varietäten, so
heißt α endlich, wenn der affine Koordinatenring K[V ] ganz über dem Unterring
α ∗ (K[W ]) ist. Mit diesen Begriffen lautet Satz 1:
Ein Morphismus α: V → W von affinen Varietäten ist genau dann dominant,
wenn α ∗ : K[W ] → K[V ] injektiv ist.
Und Satz 2 lautet:
Dominante endliche Morphismen von affinen Varietäten sind surjektiv.
2.19 F -Strukturen
Sei F ein Teilkörper eines Körpers K , und sei V ⊂ K n eine algebraische
Menge (gemäß 2.1).
Definition 1. V heißt F -abgeschlossen, falls V = V(I) mit einem Ideal I
in F [X1, . . . , Xn] gilt.
2. V heißt F -definiert (oder definiert über F ), falls das Verschwindungsideal
I(V ) = {f ∈ K[X1, . . . , Xn] | f(x) = 0 ∀ x ∈ V } ein Erzeugendensystem
in F [X1, . . . , Xn] besitzt.
Da V = V(I(V )) gilt, folgt
V ist F -definiert =⇒ V ist F -abgeschlossen .
Warnung
Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht (da I(V(I)) = Rad(I)).
Beispiel
Sei p eine Primzahl, und sei Fp := Z/pZ der Primkörper mit p Elementen.
Ferner sei F := Fp(Y ) der rationale Funktionenkörper in einer Unbestimmten
Y über Fp . Es ist dann K := F ( p√ Y ) F [X]/(Xp − Y ) . Für das Ideal
I := (Xp √
p
− Y ) in F [X] gilt V(I) = Y .
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007