Lineare algebraische Gruppen - GWDG

14 0 Worum geht es?
0.4 Übungsaufgaben 1–2
Aufgabe 1
Sei K ein Körper. Man zeige für jede Matrix x = (xij) ∈ Mn×n(K) die
Leibniz-Formel
det(x) =
sign(σ) x1σ(1) · . . . · xnσ(n) .
σ∈Sn
Dabei ist Sn = {σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} | σ bijektiv} die symmetrische
Gruppe der Ordnung n! mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen
als Verknüpfung.
Aufgabe 2
Sei ϕ: R → S ein Homomorphismus kommutativer Ringe. Für ein Ideal I
in R sei I e das von ϕ(I) in S erzeugte Ideal, also
I e endl.
= ϕ(I) S = { ϕ(ri) si | ri ∈ I , si ∈ S } .
i
Für ein Ideal J in S sei J c das durch J c = ϕ −1 (J) definierte Ideal in R.
Man zeige:
(a) I ⊂ I ec und J ⊃ J ce .
(b) I e = I ece und J c = J cec .
(c) Das Radikal Rad(I) := {r ∈ R | ∃ m ∈ N mit r m ∈ I} ist ein Ideal
in R .
(d) Ist p ein Primideal in R , so ist Rad(p n ) = p für alle n ∈ N .
(Der Buchstabe e bei I e steht für ” extended“, und der Buchstabe c bei J c
steht für ” contracted“. Wenn S eine Ringerweiterung von R ist, dann ist
J c = J ∩ R .)
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007