Lineare algebraische Gruppen - GWDG

2.15 Geringte Räume 43
v ∈ Vf . Es folgt VV (I) ⊂ V \ Vf = VV (f), und daher gilt f ∈ Rad(I) nach
dem Hilbertschen Nullstellensatz (vgl. 1.14 und Aufgabe 18). Es gibt also
ein m ∈ N mit f m ∈ I . Nach Definition von I folgt f m ψ =: g ∈ A und also
ψ ∈ Af nach Definition von Af . Für f : V → K, v ↦→ 1 , ist Vf = V und
Af = A . Daher folgt die zweite Behauptung.
Bemerkung
Sei nun V ⊂ K n eine beliebige algebraische Menge. Dann orden wir jeder
nichtleeren offenen Menge U ⊂ V wie im irreduziblen Fall eine K-Algebra
OV (U) zu, und zwar die Algebra der regulären Funktionen auf U, wobei
folgende Definition gilt.
Definition
Eine Funktion f : U → K heißt regulär in x ∈ U, wenn es g, h ∈ K[V ] und
eine offene Umgebung U ′ ⊂ U ∩ Vh von x gibt so, dass f(y) = g(y)
h(y) für alle
y ∈ U ′ gilt. Man nennt f regulär, falls f in jedem Punkt x ∈ U regulär ist.
2.15 Geringte Räume
Sei V wie in Bemerkung 2.14 gegeben. Für nichtleere, offene Mengen U ′ ⊂ U
von V gilt dann
OV (U) ↩→ OV (U ′ ) .
Die Zuordnung OV : U → OV (U) aus Bemerkung 2.14 definiert eine Garbe
von Funktionen.
Dabei ist allgemein ist auf einem topologischen Raum T eine Garbe O von
Funktionen gegeben, wenn es zu jeder nichtleeren, offenen Menge U in T
eine K-Algebra O(U) von Funktionen U → K gibt und Folgendes gilt:
1) Ist U ′ = ∅ eine offene Teilmenge einer offenen Menge U , so definiert
f ↦→ f|U ′ einen K-Algebrahomomorphismus O(U) → O(U ′ ) .
2) Sei U = ∅ offen in T und U =
Uj eine offene Überdeckung von
j∈J
U, wobei J eine Indexmenge sei. Wenn für jedes i ∈ J ein fi ∈ O(Ui)
gegeben ist, und wenn fi|Ui∩Uj = fj|Ui∩Uj für alle i, j ∈ J gilt, so gibt
es ein f ∈ O(U) mit f|Ui = fi für alle i ∈ J .
Das Paar (T, O) nennt man dann einen geringten Raum.
2.16 Morphismen von geringten Räumen
Seien (T, O) und (T ′ , O ′ ) geringte Räume wie in 2.15 definiert, und sei
α: T ′ → T eine stetige Abbildung. Ist U eine offene Menge in T , so induziert
α eine Abbildung α ∗ U : O(U) → Abb(α−1 (U), K), f ↦→ f ◦ α| α −1 (U) .
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007