Lineare algebraische Gruppen - GWDG

8.4 Klassifikation reduktiver Gruppen 119
8.4 Klassifikation reduktiver Gruppen
Gegeben sei ein 4-Tupel Ψ = (X, Φ, X ∨ , Φ ∨ ), wobei X, X ∨ endlich erzeugte
freie abelsche Gruppen und Φ ⊂ X und Φ ∨ ⊂ X ∨ endliche Teilmengen sind.
Es gebe eine Dualitätspaarung 〈−, −〉: X × X ∨ −→ Z (x, w) ↦−→ 〈x, w〉 ,
und eine Bijektion Φ −→ Φ ∨ , α ↦−→ α ∨ , sowie Automorphismen
sα : X −→ X , x ↦−→ x − 〈x, α ∨ 〉 α ,
und sα ∨ : X∨ −→ X ∨ , w ↦−→ w − 〈α, w〉 α ∨ ,
für alle α ∈ Φ . Dann heißt Ψ ein Wurzeldatum, wenn 〈α, α∨ 〉 = 2 für alle
α ∈ Φ sowie sα(Φ) ⊂ Φ und sα∨(Φ∨ ) ⊂ Φ∨ gilt.
(Eine Dualitätspaarung ist stets bilinear und induziert einen Isomorphismus
X
∨ ∼
−→ Hom(X, Z), w ↦−→ (α ↦→ 〈α, w〉). )
Es gilt dann s 2 α = id und sα(α) = −α . Tensorieren wir die von Φ erzeugte
Untergruppe von X über Z mit R, so erhalten wir einen R-Vektorraum W ,
und falls Φ = ∅ gilt, ist Φ ein Wurzelsystem in W d. h. in diesem Kontext
(vgl. [11] 7.4.1 und [3] Chap. VI § 1):
1) Φ ist endlich, erzeugt W und enthält nicht 0.
2) Zu jedem α ∈ Φ gibt es ein α ∨ im Dualraum von W so, dass 〈α, α ∨ 〉 = 2
und sα(Φ) = Φ für alle α ∈ Φ gilt.
3) Für jedes α ∈ Φ ist α ∨ (Φ) ⊂ Z.
Ein Isomorphismus Ψ1 → Ψ von Wurzeldaten Ψ = (X, Φ, X ∨ , Φ ∨ ) und
Ψ1 = (X1, Φ1, X ∨ 1 , Φ ∨ 1 ) ist ein Isomorphismus X X1 so, dass Φ auf Φ1
und Φ ∨ 1 auf Φ ∨ abgebildet wird.
Sei G nun eine zusammenhängende lineare algebraische Gruppe, und sei T
ein maximaler Torus in G. Dann können wir dem Paar (G, T ) ein Wurzeldatum
Ψ so zuordnen: Es sei X = X ∗ (T ) = Mor(T, Gm) die Gruppe der
Charaktere und X ∨ = X∗(T ) = Mor(Gm, T ) die Gruppe der Kocharaktere,
wobei Gm := Gm(K) sei. Es ist X ∗ (T ) eine endlich erzeugte freie abelsche
Gruppe (vgl. 5.6) (c), und man erhält eine Dualitätspaarung
X ∗ (T ) × X∗(T ) −→ Z , (α, w) ↦−→ 〈α, w〉 ,
wobei 〈α, w〉 durch α(w(x)) = x 〈α,w〉 für x ∈ Gm definiert ist. Es sei
Φ = Φ(G, T ) die Menge Wurzeln wie in 7.12 definiert und Φ ∨ = Φ(G, T )
die Menge Kowurzeln. Es ist Φ ein reduziertes Wurzelsystem.
Seien nun G, G1 reduktive Gruppen, und es sei (G1, T1) ein weiteres Paar
mit Wurzeldatum Ψ1 . Ist ϕ: G → G1 ein Isomorphismus algebraischer
Gruppen mit ϕ(T ) = T1, dann gibt es einen induzierten Isomorphismus
f(ϕ): Ψ1 Ψ von Wurzeldaten. Umgekehrt gilt folgender Isomorphiesatz.
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007