Lineare algebraische Gruppen - GWDG

2.10 Zum Tensorprodukt 37
(ii) Die beiden Abbildungen M × N → N ⊗R M, (m, n) ↦→ n ⊗ m, und
N × M → M ⊗R N, (n, m) ↦→ m ⊗ n, sind R-bilinear. Es gibt also
eine kanonische R-Modulisomorphie
M ⊗R N ∼ → N ⊗R M, m ⊗ n ↦→ n ⊗ m .
(iii) Tensorprodukt von R-linearen Abbildungen
Gegeben seien R-lineare Abbildungen u: M → M ′ und v : N → N ′ .
Zu der R-bilinearen Abbildung
M × N → M ′ ⊗R N ′ , (m, n) ↦→ u(m) ⊗ v(n)
gibt es genau eine R-lineare Abbildung w : M ⊗R N → M ′ ⊗R N ′ mit
w(m ⊗ n) = u(m) ⊗ v(n) ∀ m ∈ M, n ∈ N .
Die Abbildung w heißt Tensorprodukt von u und v .
(iv) Tensorprodukt von kommutativen Algebren
Seien A, B kommutative R-Algebren. Dann ist das Tensorprodukt
A ⊗R B eine kommutative R-Algebra mit Einselement 1 ⊗ 1 , und
es gilt
(a ⊗ b)(a ′ ⊗ b ′ ) = aa ′ ⊗ bb ′
denn nach (ii) gibt es eine R-Modulisomorphie
∀ a, a ′ ∈ A, b, b ′ ∈ B ,
h: (A ⊗R B) ⊗R (A ⊗R B) → (A ⊗R A) ⊗R (B ⊗R B)
mit h ((a ⊗ b) ⊗ (a ′ ⊗ b ′ )) = (a ⊗ a ′ ) ⊗ (b ⊗ b ′ ) ∀ a, a ′ ∈ A, b, b ′ ∈ B ,
und A ⊗R B ist eine R-Algebra bezüglich des Produktes
x · y = (mA ⊗ mB)(h(x ⊗ y)) für x, y ∈ A ⊗R B ,
wobei mA ⊗ mB durch (i) und (iii) gegeben ist.
(v) Für kommutative R-Algebren A, B ist A ⊗R B sowohl eine A-Algebra
als auch eine B-Algebra, denn
A → A ⊗R B, a ↦→ a ⊗ 1
B → A ⊗R B, b ↦→ 1 ⊗ b
sind Ringhomomorphismen (vgl. Definition 1.1 einer kommutativen
Algebra).
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007