Lineare algebraische Gruppen - GWDG

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104 7 Wurzelsysteme und Dynkin-Diagramme 7.7 Coxeter-Graphen Sei R ein reduziertes Wurzelsystem und ∆ eine Basis von R . Ein Coxeter- Graph von R ist der Graph mit den Elementen von ∆ als Knoten, wobei zwei verschiedene Knoten durch 0, 1, 2 oder 3 Kanten verbunden sind, je nachdem, ob n(α, β) · n(β, α) = 0, 1, 2 oder 3 ist, vgl. 7.4. Beispiele Die Coxeter-Graphen zu den Beispielen von 7.2, 7.5 sind wie folgt gegeben. A1 , A1 × A1 , A2 , B2 , G2 . Die Coxeter-Graphen zu A1, A2, B2 und G2 sind zusammenhängend, und entsprechend sind die zugehörigen Wurzelsysteme irreduzibel. Der Coxeter- Graph von A1 × A1 ist unzusammenhängend, und entsprechend ist das zugehörige Wurzelsystem reduzibel. Dabei gilt folgende Definition. Definition Ein Wurzelsystem R heißt irreduzibel, wenn sich R nicht darstellen lässt als Vereinigung R = R1 ∪ R2 , wobei R1, R2 echte Teilmengen von R sind und 〈α, β〉 = 0 für alle α ∈ R1 und alle β ∈ R2 gilt. Andernfalls heißt R reduzibel. Bemerkung Ein Wurzelsystem ist genau dann irreduzibel, wenn der zugehörige Coxeter- Graph zusammenhängend ist. Da sich jedes reduzible Wurzelsystem R ⊂ E in irreduzible Bestandteile Ri ⊂ Ei zerlegen lässt, wobei E eine orthogonale Summe der Ei ist (vgl. [4] 11.3), beschränken wir uns im Folgenden auf die Betrachtung von irreduziblen Wurzelsystemen und zusammenhängenden Coxeter-Graphen. Es erhebt sich die Frage, wie sich die Beispiele oben verallgemeinern, wenn der Rang von R größer als 2 ist. Darüber gibt das folgende Theorem, dessen Beweis äußerst trickreich ist und etliche Reduktionsschritte enthält, Auskunft, vgl. [4] 11.4 oder [3] Chap. VI, § 4.1. Theorem Ist R ein irreduzibles, reduziertes Wurzelsystem, so ist der zu R gehörende Coxeter-Graph isomorph zu einem der folgenden Graphen. An , n 1 : Durch die Indizierung ist die Anzahl der Knoten angegeben: α1 α2 αn Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007
7.7 Coxeter-Graphen 105 Bn , n 2 : α1 α2 αn−1 αn Dn , n 4 : α1 α2 αn−2 E6 : α6 αn−1 αn α1 α2 α3 α4 α5 E7 : α1 α2 α3 α4 α5 α6 E8 : α7 α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 F4 : G2 : α8 α1 α2 α3 α4 α1 α2 Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007
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Ina Kersten Lineare Algebraische Gr
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erschienen in der Reihe der Univers
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Bibliographische Information der De
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