Lineare algebraische Gruppen - GWDG

1 Hilbertscher Nullstellensatz 15
1 Hilbertscher Nullstellensatz
Sei R ein kommutativer Ring (Beispiel R = Z).
1.1 Kommutative Algebren
Definition
Eine kommutative R-Algebra ist ein kommutativer Ring A zusammen mit
einem Ringhomomorphismus ιA : R → A . Es ist dann A ein R-Modul mit
der Skalarmultiplikation ra := ιA(r) a für alle r ∈ R , a ∈ A .
Beispiele 1. Ist R ein Unterring eines kommutativen Ringes S, so ist S
eine R-Algebra, wobei ιS die Inklusion ist. Man nennt S eine Ringerweiterung
von R .
2. Der Polynomring R[X1, . . . , Xn] ist eine R-Algebra, sogar Ringerweiterung
von R (vgl. Algebra 20.3).
Definition
Ein Homomorphismus ϕ: A → B von kommutativen R-Algebren ist ein
Ringhomomorphismus, für den zusätzlich gilt:
ϕ(ra) = rϕ(a) ∀ r ∈ R, a ∈ A .
Man nennt ϕ dann auch einen R-Algebrahomomorphismus.
1.2 Endlich erzeugte Algebren
(1) Eine kommutative R-Algebra A heißt endlich erzeugt (als R-Algebra),
wenn es ein n ∈ N und einen surjektiven R-Algebrahomomorphismus
ϕ: R[X1, . . . , Xn] ↠ A
gibt. Die Elemente x1 := ϕ(X1), . . . , xn := ϕ(Xn) heißen dann Erzeugende
von A (als R-Algebra). Man schreibt dann A = R[x1, . . . , xn] .
(2) Sind y1, . . . , yn beliebige Elemente einer kommutativen R-Algebra A ,
so gibt es stets einen R-Algebrahomomorphismus
ϕ: R[X1, . . . , Xn] → A
mit ϕ(Xi) = yi für i = 1, . . . , n , den sogenannten Einsetzhomomorphismus
(dieser ist eindeutig bestimmt, wie aus Algebra 20.6 folgt). Es
ist dann
bild(ϕ) =: R[y1, . . . , yn]
die von y1, . . . , yn erzeugte Unteralgebra von A .
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007