Lineare algebraische Gruppen - GWDG

36 2 Affine algebraische Varietäten
2.10 Zum Tensorprodukt
Gegeben seien ein kommutativer Ring R und R-Moduln M, N . Das Tensorprodukt
M ⊗RN wurde in Algebra 10.7 eingeführt. Es besteht aus endlichen
Summen der Form z = mi ⊗ ni mit mi ∈ M, ni ∈ N . Da R kommutativ
ist, ist M ⊗R N ein R-Modul, und es gelten die Regeln
(m + m ′ ) ⊗ n = m ⊗ n + m ′ ⊗ n
m ⊗ (n + n ′ ) = m ⊗ n + m ⊗ n ′
rm ⊗ n = m ⊗ rn ∀ m, m ′ ∈ M, n, n ′ ∈ N, r ∈ R .
Universelle Eigenschaft
Zu jeder R-bilinearen Abbildung γ : M × N → P in einen R-Modul P gibt
es eine eindeutig bestimmte R-lineare Abbildung g : M ⊗R N → P mit
g(m ⊗ n) = γ(m, n) ∀ m ∈ M, n ∈ N .
Folgendes Diagramm, bei dem t(m, n) = m ⊗ n gilt, ist also kommutativ:
M × N
P
t
∃! g
M ⊗R N
Dabei ist γ eine R-bilineare Abbildung, falls die Abbildungen
jeweils R-linear sind.
γ
γn : M → P, m ↦→ γ(m, n) für jedes n ∈ N
und γm : N → P, n ↦→ γ(m, n) für jedes m ∈ M
Beispiele (i) Sei A eine kommutative R-Algebra. Dann ist die Multiplikation
A × A → A, (a, a ′ ) ↦→ aa ′ , ersichtlich R-bilinear, und es gibt
eine eindeutig bestimmte R-lineare Abbildung
mA : A ⊗R A → A, mit mA(a ⊗ a ′ ) = aa ′ ∀ a, a ′ ∈ A
genannt Multiplikationsabbildung oder Multiplikation.
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007