Lineare algebraische Gruppen - GWDG

5.10 Normalisator und Zentralisator 81
Satz
Dann ist die Abbildung V → Mor(H, H ′ ) , v ↦→ αv , konstant.
Beweis. Für h ∈ H ist die Abbildung βh : V → H ′ , v ↦→ α(v, h) , ein
Morphismus von Varietäten, da α ein solcher ist. Ist ord(h) < ∞ , so ist
βh(V ) eine endliche Menge nach (1) und (3). Da mit V nach 2.4 (c) auch
βh(V ) irreduzibel ist, ist βh(V ) = {h ′ } mit einem h ′ ∈ H ′ . Für v, w ∈ V
schickt
γ : H → H ′ , h ↦→ αv(h) αw(h)
−1
,
=βh(v) =βh(w) −1
jedes h ∈ H mit ord(h) < ∞ nach e ′ = 1H ′ . Da mit {e′ } auch γ −1 (e ′ )
abgeschlossen ist, folgt aus (2), dass γ(h) = e ′ für alle h ∈ H gilt. Es folgt
αv = αw für alle v, w ∈ V .
5.10 Normalisator und Zentralisator
Sei G eine beliebige algebraische Gruppe. Dann operiert G per Konjugation
α: G × G → G , (g, x) ↦→ gxg −1 ,
auf sich selbst, und α ist ein Morphismus. Für x ∈ G sei
Stab(x) := {g ∈ G | gxg −1 = x}
der Stabilisator von x, und für eine Untergruppe H von G seien
ZG(H) :=
h∈H
der Zentralisator von H in G und
der Normalisator von H in G.
Stab(h) = {g ∈ G | ghg −1 = h ∀ h ∈ H}
NG(H) := {g ∈ G | gHg −1 = H}
Lemma
Ist H eine abgeschlossene Untergruppe einer algebraischen Gruppe G , so
sind NG(H) und Stab(h) für alle h ∈ H sowie ZG(H) abgeschlossene Untergruppen
von G . Ferner ist ZG(H) Normalteiler von NG(H).
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007