Lineare algebraische Gruppen - GWDG

106 7 Wurzelsysteme und Dynkin-Diagramme
7.8 Cartan-Matrizen
Sei R ein reduziertes Wurzelsystem in E , und sei ∆ := {α1, . . . , αn} eine
(geordnete) Basis von R . Die Cartan-Matrix von R ist die Matrix
(n(αi, αj)). Zum Beispiel haben die Wurzelsysteme A2 und G2 bezüglich
der in 7.5 jeweils angegebenen Basis {α, β} die Cartan-Matrix
n(α, α) n(α, β)
n(β, α) n(β, β)
A2
=
2
−1
−1 2
,
n(α, α) n(α, β)
n(β, α) n(β, β)
G2
=
2
−1
−3 2
Die Cartan-Matrix hängt von der gewählten Ordnung der Basis ab und ist
aber ansonsten unabhängig von der Wahl der Basis von R , da die Weylgruppe
transitiv auf der Menge der Basen operiert. Bis auf Isomorphie ist
R durch seine Cartan-Matrix eindeutig bestimmt. Genauer gilt:
Satz
Sei R ′ ein reduziertes Wurzelsystem mit Basis ∆ ′ in einem euklidischen
Vektorraum E ′ , und sei φ: ∆ → ∆ ′ eine Bijektion so, dass n(α, β) =
n(φ(α), φ(β)) für alle α, β ∈ ∆ gilt. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten
Vektorraumisomorphismus f : E → E ′ , der φ fortsetzt und für
den f(R) = R ′ gilt. Ferner ist n(α, β) = n(f(α), f(β)) für alle α, β ∈ R .
Beweis. Da ∆ und ∆ ′ Basen sind, lässt sich φ eindeutig zu einem Vektorraumisomorphismus
f : E → E ′ fortsetzen. Sind α, β in ∆ , so gilt
(σ φ(α) ◦ f)(β) = σ φ(α)(φ(β)) = φ(β) − n(φ(β), φ(α)) φ(α)
und (f ◦ σα)(β) = f(β − n(β, α)α) = φ(β) − n(β, α) φ(α) .
Nach Voraussetzung folgt hieraus σ φ(α) ◦ f = f ◦ σα für alle α ∈ ∆ und
daher n(f(α), f(β)) = n(α, β) für alle α ∈ ∆ und β ∈ R . Sei W bzw.
W ′ die Weylgruppe von R bzw. R ′ . Da W von den Spielgelungen σα mit
α ∈ ∆ erzeugt wird (und analog W ′ ), vgl. Bemerkung 7.6, erhalten wir
einen Isomorphismus ι: W → W ′ , σ ↦→ f ◦ σ ◦ f −1 , mit ι(σα) = σ φ(α) für
alle α ∈ ∆ . Nach Bemerkung 7.6 gibt es zu jedem β ∈ R ein σ ∈ W und
ein δ ∈ ∆ so, dass β = σ(δ) gilt. Es folgt f(β) = (f ◦ σ ◦ f −1 )(f(δ)) ∈ R ′ .
Seien α, β ∈ R , und sei ω ∈ W und ε ∈ ∆ so gewählt, dass ε = ω(α) gilt.
Dann ist γ := ω(β) ∈ R , und es folgt
n(α, β) = n(ω(α), ω(β)) = n(ε, γ) = n(f(ε), f(γ)) da ε ∈ ∆
= n (f ◦ ω ◦ f −1 )(f(α)), (f ◦ ω ◦ f −1 )(f(β))
= n(f(α), f(β)) da f ◦ ω ◦ f −1 ∈ W ′
Damit ist der Satz mit Hilfe von Bemerkung 7.6 bewiesen.
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007
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