Lineare algebraische Gruppen - GWDG

2.8 Morphismen von algebraischen Mengen 33
Es folgt
K[V ] = {ϕ: V → K | ∃ f ∈ K[X1, . . . , Xn] mit ϕ(v) = f(v) ∀ v ∈ V }.
Es ist K[V ] die K-Algebra der ” polynomialen Funktionen“ V → K .
Wir schreiben K[V ] = Mor(V, K ).
Beispiele
Zu jedem xi := Xi + I(V ) gehört die i-te Koordinatenfunktion
xi : V → K , (a1, . . . , an) ↦→ ai , für i = 1, . . . , n .
4) Mit der Interpretation aus 3) ist das Verschwindungsideal einer Teilmenge
W ⊂ V definiert als
IV (W ) := {ϕ ∈ K[V ] | ϕ(w) = 0 ∀ w ∈ W } .
Es gilt IV (W ) = I(W )/I(V ) , und die Zuordnung ϕ ↦→ ϕ|W induziert
einen Isomorphismus
K[V ]/IV (W ) ∼ → K[W ] ,
denn nach dem zweiten Noetherschen Isomorphiesatz (Algebra 1.6) gilt:
K[X1, . . . , Xn]/I(W ) (K[X1, . . . , Xn]/I(V ) )/(I(W )/I(V ) ) .
K[W ]
K[V ]
IV (W )
5) Sei umgekehrt I ein beliebiges Ideal in K[V ] = K[X1, . . . , Xn]/I(V ) .
Dann ist die Nullstellenmenge von I definiert als
VV (I) := {v ∈ V | ϕ(v) = 0 ∀ ϕ ∈ I} .
Es ist VV (I) eine K-abgeschlossene Menge in V , denn I ist endlich
erzeugt nach 2), also I = (ϕ1, . . . , ϕm) mit ϕi = fi + I(V ) und fi ∈
K[X1, . . . , Xn] für i = 1, . . . , m , und es folgt VV (I) = V(f1, . . . , fm)∩V .
2.8 Morphismen von algebraischen Mengen
Seien V ⊂ K n und W ⊂ K m algebraische Mengen.
Definition
Eine Abbildung α: V → W heißt polynomial oder Morphismus, wenn es
Polynome f1, . . . , fm ∈ K[X1, . . . , Xn] gibt mit
α(v) = (f1(v), . . . , fm(v)) ∀ v ∈ V .
Ein Morphismus α: V → W heißt Isomorphismus, wenn es einen Morphismus
β : W → V gibt mit α ◦ β = idW und β ◦ α = idV .
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007