Lineare algebraische Gruppen - GWDG

6.9 Adjungierte Darstellung 93
Surjektivität: Sei δ ∈ TeG . Dann ist die Konvolution
G → K ,
∗δ : A → A , f ↦→ f ∗ δ :
x ↦→ δ(λx−1(f)) ,
eine K-Derivation, denn ∗δ ist K-linear, und für x ∈ G , f, g ∈ A ist
(fg ∗ δ)(x) = δ(λ x −1(fg)) = δ(λ x −1(f)λ x −1(g))
= f(x) · δ(λ x −1(g)) + g(x) · δ(λ x −1(f)), da δ ∈ DerK(A, Ke)
= (f(g ∗ δ) + g(f ∗ δ))(x) .
Ferner ist ∗δ linksinvariant, denn für x, g ∈ G und f ∈ A ist
((λg ◦ ∗δ)(f))(x) = (λg(f ∗ δ))(x)
= (f ∗ δ)(g −1 x) nach Definition von λg
= δ(λ x −1 g(f)) Definition von f ∗ δ
= δ(λ x −1(λg(f))
= (λg(f) ∗ δ)(x) Definition von ∗δ
= ((∗δ ◦ λg)(f))(x)
Es ist
(ψ(∗δ))(f) =
Def. von ψ (∗δ)e(f) = (f ∗ δ)(e) = δ(f) . Also ψ(∗δ) = δ .
Liealgebra g
Sei g := TeG als K-Vektorraum. Wir versehen g durch Strukturtransport
von Lie(G) vermöge ψ : Lie(G) ∼ → TeG mit einer Liealgebrastruktur und
erhalten die Liealgebra g zu G . Damit erhalten wir dann auch die in 6.5 (c)
angekündigte ” funktorielle Eigenschaft“ (vgl. [5] 9.2):
Ist α: G → G ′ ein Morphismus von algebraischen Gruppen, so ist das Differential
dαe : g → g ′ , δ ↦→ δ ◦ α ∗ , ein Liealgebrahomomorphismus.
Es ist noch nachzurechnen, dass dαe die Lie-Klammer respektiert.
6.9 Adjungierte Darstellung
Sei G wie in 6.8 gegeben, und sei ιg : G → G , x → gxg −1 , der durch
g ∈ G definierte innere Automorphismus von G . Dann erhält man einen
Liealgebraautomorphismus
Ad g := (dιg )e : TeG → TeG , δ ↦→ δ ◦ ι ∗ g .
Dies wiederum ergibt einen Morphismus Ad: G → GL(g) , g ↦→ Ad g , von
algebraischen Gruppen, genannt adjungierte Darstellung von G , vgl. z. B.
[5] 9.1.
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007