Lineare algebraische Gruppen - GWDG

7.13 Übungsaufgaben 51–53 117
Lemma
Es gibt eine positiv definite, symmetrische Bilinearform
b: E × E −→ R , (α, β) ↦−→ b(α, β),
die invariant unter der Weylgruppe W(G, T ) ist, d. h. b(α, β) = b(w.α, w.β)
für alle α, β ∈ E, w ∈ W(G, T ).
Beweis. Sei b ′ : E × E −→ R irgendeine positiv definite, symmetrische Bilinearform.
Setze b(α, β) =
w∈W(G,T ) b′ (w.α, w.β) .
Sei E mit einer solchen Bilinearform wie im Lemma versehen. Wir definieren
nun wie in [11] 7.1 ein Wurzelsystem Φ(G, T ). Ist α ein Gewicht = 1 von G
bezüglich T wie in 7.11 definiert, so ist Sα := (kern α) 0 ein Untertorus von
T . Man setzt Gα := ZG(Sα). Dann ist Gα eine abgeschlossene Untergruppe
von G nach Lemma 5.10, und es gilt:
(1) G wird von den Gα erzeugt, wobei α alle Gewichte = 1 durchläuft.
(2) G ist auflösbar ⇐⇒ Gα ist auflösbar für alle Wurzeln α .
Sei Φ(G, T ) := {Gewichte α = 1 | Gα ist nicht auflösbar} . Die Elemente
von Φ(G, T ) heißen Wurzeln von G bezüglich T . Man kann zeigen, dass
W(G, T ) von den Spiegelungen
sα : E −→ E , β ↦−→ β − 2
mit α ∈ Φ(G, T ) erzeugt wird (vgl. [11] 7.1.9).
7.13 Übungsaufgaben 51–53
b(β, α)
α ,
b(α, α)
Aufgabe 51
Es sei Dn die Diedergruppe mit 2n Elementen für n = 2, 3, 4, 6 . Man beweise,
dass tatsächlich, wie in 7.3 behauptet, gilt: W(A1 × A1) D2 ,
W(A2) D3 , W(B2) D4 und W(G2) D6 .
Aufgabe 52
Man zeige durch Angabe eines Beispiels, dass α − β eine Wurzel in einem
reduzierten Wurzelsystem sein kann, auch wenn 〈α, β〉 0 gilt (vgl. Lemma
7.4 und Korollar 7.6).
Aufgabe 53
Sei ∆ eine Wurzelbasis von E. Man zeige, dass es ein γ ∈ E so gibt, dass
〈γ, α〉 > 0 für alle α ∈ ∆ gilt.
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007