Lineare algebraische Gruppen - GWDG

5.11 Bemerkung über auflösbare Gruppen 83
1) M 0 = Dn(K) =: Dn ,
2) M/M 0 Sn die symmetrische Gruppe, also |M/M 0 | = n! ,
3) N GLn(K)(Dn) = M ,
4) Z GLn(K)(Dn) = Dn ,
und nach 3) und 4) gilt N GLn(K)(Dn)/Z GLn(K)(Dn) Sn
(vgl. auch [12], S. 73).
5.11 Bemerkung über auflösbare Gruppen
Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e , und sei H eine Untergruppe
von G . Dann heißt die Menge
[a, b] := ab a −1 b −1 mit a ∈ G , b ∈ H
der Kommutator von a ∈ G und b ∈ H. Die von allen solchen Kommutatoren
erzeugte Untergruppe von G wird als [G, H] geschrieben. In G betrachte
man die jeweils induktiv definierten Untergruppen
C 0 (G) = G , . . . , C i+1 (G) = [G, C i (G)] und
D 0 (G) = G , . . . , D i+1 (G) = [D i (G), D i (G)] .
Die Gruppe G ist nilpotent, wenn es ein m ∈ N0 so gibt, dass C m (G) = {e}
gilt, und G ist auflösbar, wenn es ein k ∈ N0 so gibt, dass D k (G) = {e} gilt.
Für auflösbare (also nicht notwendig kommutative) Gruppen gilt folgender
Struktursatz
Sei G eine zusammenhängende auflösbare lineare algebraische Gruppe über
einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Dann gelten:
(i) Die Gruppen D i (G) und C i (G) sind abgeschlossene, zusammenhängende
Untergruppen und Normalteiler in G .
(ii) Gu ist abgeschlossener Normalteiler in G , der die Kommutatorgruppe
[G, G] enthält, und Gu ist zusammenhängend.
(iii) G/Gu ist ein Torus.
(iv) G ist nilpotent ⇐⇒ Gs ist eine Untergruppe von G.
In diesem Fall ist Gs abgeschlossen, und es ist G = Gs × Gu .
(v) Die maximalen Tori in G sind konjugiert unter
Ci (G) .
i∈N0
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007