Lineare algebraische Gruppen - GWDG

24 1 Hilbertscher Nullstellensatz
Beispiel
Jedes Primideal ist ein Radikalideal (vgl. Aufgabe 2 d).
Bemerkung
Es ist I genau dann ein Radikalideal in R , wenn R/I reduziert ist (d. h.
kein nilpotentes Element außer 0 enthält).
Beweis. Sei I ein Radikalideal in R , und sei r ∈ R . Ist r + I nilpotent in
R/I , so gilt rm ∈ I für ein m ∈ N und also r ∈ Rad(I) = I. Hieraus folgt
Vor.
r + I = I = 0R/I . Ist umgekehrt r ∈ Rad(I) und R/I reduziert, dann folgt
rm ∈ I für ein m ∈ N und also r ∈ I.
1.13 Verschwindungsideal
Definition
Seien K ein Körper und K ein algebraischer Abschluss von K . Zu jeder
Teilmenge V ⊂ K n gehört das Ideal
I(V ) := {f ∈ K[X1, . . . , Xn] | f(x) = 0 ∀ x ∈ V } ,
genannt das Verschwindungsideal oder Ideal von V .
Lemma
I(V ) ist ein Radikalideal.
Beweis. Sei f ∈ Rad(I(V )) . Dann existiert ein m ∈ N mit f m ∈ I(V ) ,
also mit f m (x) = 0 für alle x ∈ V . Da der Einsetzhomomorphismus
ϕx : K[X1, . . . , Xn] → K , g ↦→ g(x) , multiplikativ ist, folgt
0 = f m (x) = ϕx(f m ) = ϕx(f) m = f(x) m ∀ x ∈ V .
Da K ein Körper ist, folgt f(x) = 0 ∀ x ∈ V und daher f ∈ I(V ) .
1.14 I(V(I)) = Rad(I)
Seien K ein Körper, K ein algebraischer Abschluss von K und I ein Ideal
in K[X1, . . . , Xn] sowie V ⊂ K n . Wie gehabt seien
V(I) := {x ∈ K n | f(x) = 0 ∀ f ∈ I}
I(V ) := {f ∈ K[X1, . . . , Xn] | f(x) = 0 ∀ x ∈ V } .
Nullstellensatz (David Hilbert)
I(V(I)) = Rad(I) .
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007