Lineare algebraische Gruppen - GWDG

4.8 Übungsaufgaben 31–34 71
Beispiel
⎧⎛
⎪⎨ 1
⎜
Un(K) := ⎝
⎪⎩
0
ist eine unipotente Gruppe.
. ..
⎞⎫
∗ ⎪⎬
⎟
⎠ ⊂ GLn(K)
⎪⎭
1
Beweis. Betrachte in Mn×n(K) die Unteralgebra aller oberen Dreiecksmatrizen
und darin das Ideal
⎧⎛
⎞
⎫
⎪⎨ 0 ∗
⎪⎬
⎜
N := ⎝
. ..
⎟
⎠ ∈ Mn×n(K)
⎪⎩
⎪⎭
0 0
.
Dann ist N n = (0) und also Un(K) = En + N .
Sei nun K algebraisch abgeschlossen, und sei G eine lineare algebraische
Gruppe über K . Dann hat jedes g ∈ G nach 4.6 eine Jordanzerlegung
g = gsgu mit einem halbeinfachen Element gs ∈ G und einem unipotenten
Element gu ∈ G . Die Menge
Gu := {g ∈ G | g = gu}
ist abgeschlossen in G . Dies folgt aus 3.10 und 4.6 (ii), weil für eine unipotente
Matrix x ∈ GLn(K) stets (x − En) n = 0 gilt.
Definition
Eine Untergruppe U einer linearen algebraischen Gruppe heißt unipotent,
wenn jedes Element aus U unipotent ist.
Warnung
Halbeinfache algebraische Gruppen sind nicht analog definiert.
Bemerkung
Falls K algebraisch abgeschlossen ist, kann man zeigen, dass jede unipotente
Untergruppe von GLn(K) konjugiert zu einer Untergruppe von Un(K) ist.
4.8 Übungsaufgaben 31–34
Seien K ein Körper, K ein algebraischer Abschluss von K und W ein K-
Vektorraum der Dimension n < ∞ .
Für einen Endomorphismus σ : W → W sei pσ := det(σ − X · id) das
charakteristische Polynom von σ .
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007