Lineare algebraische Gruppen - GWDG

68 4 Jordanzerlegungen
Basis {wi | i ∈ N} als K-Vektorraum. Der von w1 erzeugte Untervektorraum
von K[G] liegt nach Satz 3.9 (angewandt auf Rechts- statt auf
Linkstranslationen) in einem endlich-dimensionalen Untervektorraum W1
von K[G] , der stabil unter allen Rechtstranslationen ρg ist, d. h. es gilt
ρg(W1) ⊂ W1 für alle g ∈ G .
Analog liegt beim Induktionsschluss von n nach n + 1 der von Wn und
wn+1 erzeugte Untervektorraum von K[G] in einem endlich-dimensionalen
Untervektorraum Wn+1 von K[G], der stabil unter allen ρg mit g ∈ G ist.
Jedes f ∈ K[G] ist eine endliche Linearkombination von endlich vielen wi .
Hieraus folgt f ∈ Wn für ein n ∈ N . Also ist K[G] =
n∈N Wn . Nach 4.3
besitzt (ρg)|Wn eine Jordanzerlegung ρg|Wn = (ρg|Wn )s ◦ (ρg|Wn )u für jedes
n ∈ N und jedes g ∈ G , die nach 4.3 kompatibel mit der Jordanzerlegung
von ρg|Wn−1 ist.
Sei nun g ∈ G vorgegeben, und sei W ein ρg-stabiler Untervektorraum von
K[G] mit einer endlichen Basis B . Dann ist jedes f ∈ B in einem Wn enthalten
und also ist B ⊂ Wm für ein m ∈ N . Es folgt W ⊂ Wm und mit 4.3
die Behauptung.
4.6 Jordanzerlegung in G
Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, und sei G eine lineare algebraische
Gruppe über K . Für jedes g ∈ G sei ρg = (ρg)s ◦ (ρg)u die
Jordanzerlegung der Rechtstranslation ρg : K[G] → K[G] wie in 4.5 beschrieben.
Satz (i) Zu jedem g ∈ G gibt es eindeutig bestimmte Elemente gs und
gu ∈ G mit den Eigenschaften (ρg)s = ρgs und (ρg)u = ρgu sowie
g = gsgu = gugs .
(ii) Ist α: G → G ′ ein Homomorphismus von algebraischen Gruppen, so
ist α(gs) = α(g)s und α(gu) = α(g)u für jedes g ∈ G .
(iii) Ist G = GLn(K), so ist gs der halbeinfache und gu der unipotente
Anteil von g ∈ G wie in Satz 4.4.
Beweis. (i) Sei µ: K[G] ⊗K K[G] → K[G] die Multiplikation in K[G] .
Da ρg ein K-Algebrahomomorphismus ist, gilt µ ◦ (ρg ⊗ ρg) = ρg ◦ µ ,
und also ist das folgende Diagramm kommutativ.
K[G] ⊗K K[G]
ρg⊗ρg
K[G] ⊗K K[G]
µ
µ
K[G]
ρg
K[G]
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007