Lineare algebraische Gruppen - GWDG

42 2 Affine algebraische Varietäten
Beispiel
V = {(x1, x2) ∈ K 2 | x1 = 0} = V(X1) . Dann ist
K[V ] = K[X1, X2]/(X1) = K[X2] ,
und f = 1
X2 ∈ K(V ) ist in (0, 0) nicht definiert (und also nicht ” regulär“).
Der Punkt (0, 0) ist ein Pol“ von f .
”
Dabei heißt allgemein ein Punkt x ∈ V Pol einer Funktion f ∈ K(V ) , falls
für alle g, h ∈ K[V ] , für die f = g
h gilt, h(x) = 0 ist.
Wie in 2.7.3 beschrieben, fassen wir die Elemente von K[V ] als Funktionen
V → K auf. Zu jedem v ∈ V gehört ein lokaler Ring
g
Ov := | g, h ∈ K[V ] , h(v) = 0 .
h
Es ist Ov gerade die Lokalisierung K[V ]mv
nach dem maximalen Ideal
mv := {g ∈ K[V ] | g(v) = 0} = kern(K[V ] → K, g ↦→ g(v)) .
Die Elemente von Ov können wir nun i. Allg. nicht mehr als Funktionen
V → K interpretieren. Daher ordnen wir jeder nichtleeren, offenen Menge
U ⊂ V den folgenden Ring zu
OV (U) :=
Ox .
Dann lassen sich die Elemente aus OV (U) als Funktionen U → K auffassen,
denn ist ψ ∈ OV (U) , so gibt es zu jedem x ∈ U Elemente g, h ∈ K[V ]
mit ψ = g
g(x)
h und h(x) = 0 . Wir setzen ψ(x) := h(x) und erhalten eine
wohldefinierte Funktion ψ : U → K : Ist g g′
h = h ′ , wobei h(x) = 0 und
h ′ (x) = 0 , so ist g(x)h ′ (x) − g ′ (x)h(x) = 0 und also g(x)
h(x) = g′ (x)
h ′ (x) . (Hier ist
eingegangen, dass V irreduzibel und also K[V ] ein Integritätsring ist.)
Satz
Sei A = K[V ] , und für f ∈ A sei D(f) := Vf := {v ∈ V | f(v) = 0} . Dann
ist OV (Vf ) = Af . Insbesondere gilt OV (V ) = K[V ] .
x∈U
Beweis. Es ist Af ⊂ OV (Vf ) , denn für g
f m mit g ∈ A gilt
v ∈ Vf (nach Definition von Vf und Ov). Also ist g
f m ∈
v∈Vf
g
f m ∈ Ov für alle
Ov = OV (Vf ) .
Zu zeigen: OV (Vf ) ⊂ Af . Sei ψ ∈ OV (Vf ). Dann ist ψ ∈ Ov für alle v ∈ Vf .
Nach Definition von Ov folgt ψ = gv
hv mit gv, hv ∈ A und hv(v) = 0 für alle
v ∈ Vf . Dies ergibt hv ∈ I := {h ′ ∈ A | h ′ ψ ∈ A} und v /∈ VV (I) für alle
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007