Lineare algebraische Gruppen - GWDG

116 7 Wurzelsysteme und Dynkin-Diagramme
Sei nun G halbeinfach, dann heißen die Gewichte = 1 Wurzeln von G ,
und die Menge Φ(G) aller dieser Wurzeln ist ein reduziertes Wurzelsystem
in E . Die Menge Φ(G) hängt bis auf Isomorphie nicht von der Wahl des
maximalen Torus T ab und heißt Wurzelsystem von G . Die Borelgruppen
in G sind konjugiert und ebenso die maximalen Tori in G, vgl. z. B. [5] 21.3.
Beispiel
Sei G = SLn+1(K). Dann ist die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen
⎧⎛
⎞ ⎫
⎪⎨ ∗ . . . ∗ ⎪⎬
⎜
Bn+1(K) := ⎝
. ..
⎟
⎪⎩
. ⎠ ∈ G
⎪⎭
0 ∗
eine Borelgruppe in G , und die Gruppe der Diagonalmatrizen
⎧⎛
⎞ ⎫
⎪⎨ t1 0
⎪⎬
⎜
T := ⎝
. ..
⎟
⎠ =: t ∈ G
⎪⎩
⎪⎭
0 tn+1
ist ein Torus der (maximalen) Dimension n in G . Sei Dn+1(K) die Gruppe
der Diagonalmatrizen in GLn+1(K) . Für i = 1, . . . , n + 1 definiert man
Charaktere ei : Dn+1(K) → Gm(K), t ↦→ ti (wie in Beispiel 5.3) und für
i = 1, . . . , n Charaktere αi : T → Gm(K), t ↦→ ti t −1
i+1 =: tei−ei+1 . Man
erahnt hieran schon, dass die Gruppe SLn+1(K) eine halbeinfache Gruppe
vom Typ An ist (vgl. 7.9).
7.12 Weylgruppe W(G, T )
Sei T ein maximaler Torus in einer zusammenhängenden linearen algebraischen
Gruppe G über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K . Die
Weylgruppe von G bezüglich T is definiert als
W(G, T ) := NG(T )/ZG(T ) .
Nach Satz 5.10 ist W(G, T ) eine endliche Gruppe. Für g ∈ NG(T ) und
α ∈ X ∗ (T ) definiert man ein Element g.α ∈ X ∗ (T ) durch
und erhält damit durch
(g.α)(t) := α(gtg −1 ) ∀ t ∈ T
g ↦−→
X ∗ (T ) −→ X ∗ (T ),
α ↦−→ g.α ,
Einbettungen W(G, T ) ↩→ Aut(X ∗ (T )) und W(G, T ) ↩→ GL(E) mit E :=
X ∗ (T ) ⊗Z R .
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007