Lineare algebraische Gruppen - GWDG

34 2 Affine algebraische Varietäten
Beispiel
Sei V = {(a, b) ∈ K 2 | b = a 2 } = V(X 2 1 − X2) und W = K = V(0 · K[X]) .
Die Projektion von V auf die x1-Achse (= W ) ist dann ein Isomorphismus
π : V → W, (a, a 2 ) ↦→ a , mit Umkehrabbildung π −1 : W → V, a ↦→ (a, a 2 ) .
Es sind π und π −1 polynomial, denn es ist π(a, a 2 ) = a = f(a) mit f =
X1 ∈ K[X1, X2] und π −1 (a) = (a, a 2 ) = (f1(a), f2(a)) mit f1 = X und
f2 = X 2 in K[X] .
2.9 Eine Äquivalenz von Kategorien
Seien V ⊂ K n und W ⊂ K m algebraische Mengen. Dann induziert jeder
Morphismus α: V → W einen K-Algebrahomomorphismus
und für Morphismen V
ergibt sich (idV ) ∗ = id K[V ] .
K[W ]
α ∗ : Mor(W, K )
K[V ]
Mor(V, K )
ϕ
ϕ ◦ α
α V
′
β
′′ ∗ ∗ ∗ V gilt (β ◦ α) = α ◦ β . Ferner
In Kategoriensprache: Es gibt einen kontravarianten Funktor
⎧
⎨Kategorie
der algebraischen
F : Mengen in K
⎩
n
⎫
⎬
⎭
und Morphismen
−→
⎧
⎫
⎨ Kategorie der affinen ⎬
K-Algebren und K-Algebra-
⎩
⎭
homomorphismen
Objekte: V
K[V ] , Morphismen: α
α∗ Sei Mor(V, W ) die Menge der Morphismen V → W ,
und sei HomAlg(K[W ], K[V ]) die Menge der K-Algebrahomomorphismen
K[W ] → K[V ] .
Satz
Der Funktor F ist volltreu, d. h. die Abbildung
FV,W : Mor(V, W ) → HomAlg(K[W ], K[V ]), α ↦→ α ∗ ,
ist bijektiv. Insbesondere gilt
V isomorph W
als algebraische Mengen
⇐⇒ K[V ] isomorph K[W ]
als K-Algebren
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007
.