Lineare algebraische Gruppen - GWDG

26 1 Hilbertscher Nullstellensatz
Eine kommutative K-Algebra heißt affin, wenn sie endlich erzeugt (als K-
Algebra) ist und keine nilpotenten Elemente außer 0 besitzt.
Korollar
Sei A eine affine K-Algebra. Dann gibt es ein n ∈ N und eine algebraische
Menge V ⊂ K n so, dass A K[X1, . . . , Xn]/I(V ) gilt.
Beweis. Da A endlich erzeugt ist, gibt es ein n ∈ N und einen surjektiven
K-Algebrahomomorphismus ϕ: K[X1, . . . , Xn]
A nach Definition
1.2. Der Homomorphiesatz ergibt A K[X1, . . . , Xn]/ kern ϕ . Da A
reduziert ist, ist kern ϕ ein Radikalideal nach Bemerkung 1.12. Nach dem
Theorem gibt es eine algebraische Menge V ⊂ K n mit I(V ) = kern ϕ .
1.16 Übungsaufgaben 3–7
Aufgabe 3
Sei S ein Integritätsring. Man zeige:
Wenn S eine ganze Ringerweiterung eines Körpers ist, so ist S ein Körper.
Aufgabe 4
Sei K ein Körper mit unendlich vielen Elementen und f ∈ K[X1, . . . , Xm]
ein Polynom mit f = 0 .
Man zeige, dass es unendlich viele Punkte (a1, . . . , am) in K m gibt mit
f(a1, . . . , am) = 0 .
Hinweis zu Aufgabe 4:
Man überlege sich, dass f in der Form f = g0 + g1Xm + · · · + grX r m mit
gi ∈ K[X1, . . . , Xm−1] und gr = 0 geschrieben werden kann, falls m 2 ist
und Xm in f wirklich vorkommt, und führe Induktion nach m durch.
Aufgabe 5
Sei S eine kommutative Ringerweiterung eines kommutativen Ringes R.
Man zeige, dass die Menge R := {s ∈ S | s ist ganz über R} ein Unterring
von S ist.
Aufgabe 6
Sei R ein Integritätsring und sei R ∗ die Gruppe der Einheiten in R . Man
zeige, dass (R[X1, . . . , Xn] ) ∗ = R ∗ gilt.
Aufgabe 7
Sei K ein algebraischer Abschluss von K. Man zeige:
(a) I(∅) = K[X1, . . . , Xn] und I(K n ) = (0).
(b) Ist V ⊂ K n algebraisch, so gilt V(I(V )) = V .
(c) Sind V1 , V2 ⊂ K n algebraisch, so gilt I(V1 ∪ V2) = I(V1) ∩ I(V2) .
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007