Lineare algebraische Gruppen - GWDG

4.2 Additive Jordanzerlegung 65
Es gilt W = W1 ⊕ · · · ⊕ Wk und dimK Wi = ni sowie σ(Wi) ⊂ Wi für
alle i = 1, . . . , k , vgl. AGLA 14.4. Nach dem Chinesischen Restsatz (vgl.
Algebra 7.8) gibt es ein Polynom P ∈ K[X] mit
(∗)
P ≡ λi mod (X − λi) ni ∀ i = 1, . . . , k ,
und, falls 0 kein Eigenwert ist, zusätzlich mit P ≡ 0 mod (X). Wir setzen
σs = P (σ) . Dann folgt
(∗∗)
σs(w) = λi w ∀ w ∈ Wi und ∀ i = 1, . . . , k ,
denn nach (∗) gibt es fi ∈ K[X] mit P − λi = fi · (X − λi) ni und also mit
σs − λi id = fi(σ)(σ − λi id) ni , da σs = P (σ) gilt. Es folgt σs(w) − λiw = 0
für alle w ∈ Wi nach Definition von Wi. Also ist σs|Wi diagonalisierbar für
alle i = 1, . . . , k und daher auch σs, da W = W1 ⊕ · · · ⊕ Wk. Ferner folgt,
dass σn := σ − σs nilpotent ist, denn für jedes w ∈ Wi gilt
0 = (σ − λi id) ni (w) =
(∗∗) (σ − σs) ni (w) = σ ni
n (w) ,
und es ist σn(Wi) ⊂ Wi . Da P (σ) = σs mit σ vertauschbar ist, folgt
σn ◦ σs = (σ − σs) ◦ σs = σ ◦ σs − σ 2 s = σs ◦ σ − σ 2 s = σs ◦ (σ − σs) = σs ◦ σn .
Eindeutigkeit:
Sei σn + σs = σ = σ ′ s + σ ′ n. Da σ ′ s mit σ ′ n kommutiert, kommutieren σ ′ s
und σ ′ n mit σ und also mit σs = P (σ). Es folgt, dass auch σn und σ ′ n
kommutieren. Also gilt σs − σ ′ s = σ ′ n − σn, wobei σs − σ ′ s diagonalisierbar
und σ ′ n −σn nilpotent ist, wie aus 4.1 folgt, vgl. Aufgabe 34 . Die Eigenwerte
eines nilpotenten Endomorphismus sind alle 0 (vgl. Aufgabe 32). Es folgt
σs − σ ′ s = 0, da σs − σ ′ s diagonalisierbar ist. Also ist auch σ ′ n − σn = 0 .
Korollar
Die Voraussetzungen seien wie im Satz, und es sei σ = σs + σn die additive
Jordanzerlung von σ . Dann gelten:
(i) Es gibt Polynome P, Q ∈ K[X] ohne konstanten Term derart, dass
P (σ) = σs und Q(σ) = σn gilt. Insbesondere kommutieren σs und σn
mit jedem Endomorphismus von W , der mit σ kommutiert.
(ii) Ist Z ⊂ W ein σ-stabiler Untervektorraum von W , so ist Z auch σsund
σn-stabil, und σ|Z = σs|Z + σn|Z ist die additive Jordanzerlegung
von Z .
Beweis. (i) folgt direkt aus dem Satz nach Definition P (σ) = σs und
Q(σ) = σn .
Aus (i) folgt, dass Z von σs und σn stabilisiert wird. Das charakteristische
Polynom von σ|Z teilt das charakteristische Polynom von σ, vgl. AGLA 14.2
und (ii) folgt analog wie im Satz mit dem Polynom P .
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007