Lineare algebraische Gruppen - GWDG

7 Wurzelsysteme und Dynkin-Diagramme 95
7 Wurzelsysteme und Dynkin-Diagramme
Sei E ein euklidischer Vektorraum, das ist ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum,
versehen mit einer positiv definiten, symmetrischen Bilinearform
7.1 Spiegelungen
Für α ∈ E \
{0} definieren wir
s: E × E −→ R , (α, β) ↦−→ 〈α, β〉 .
σα : E −→ E , β ↦−→ β − 2
〈β, α〉
α .
〈α, α〉
Dann ist σα die Spiegelung an der zu Rα senkrechten Hyperebene Hα :=
(Rα) ⊥ , denn es gilt σα(α) = −α und σα(h) = h für alle h ∈ Hα .
Behauptung
Es gilt σα ◦ σα = id , und σα ist eine Isometrie.
Beweis. Setze σ := σα . Aus der Bilinearität von s folgt die Linearität von
σ , denn es ist σ(rβ) = rβ −2 〈rβ,α〉
〈α,α〉 α = rσ(β) für alle r ∈ R und β ∈ E und
σ(β+β ′ ) = β+β ′ −2 〈β+β′ ,α〉
〈α,α〉 α = β+β′ −2 〈β,α〉
〈α,α〉 α−2 〈β′ ,α〉
〈α,α〉 α = σ(β)+σ(β′ )
für alle β, β ′ ∈ E. Hieraus folgt σ ◦ σ = id , denn es gilt
σ(σ(β)) = σ 〈β, α〉
β − 2
〈α, α〉 α
〈β, α〉
= σ(β) − 2 σ(α)
〈α, α〉
da σ linear
〈β, α〉 〈β, α〉
= β − 2 α + 2 α
〈α, α〉 〈α, α〉
da σ(α) = −α
= β für alle β ∈ E.
Also ist σ bijektiv, und σ erhält das Skalarprodukt, denn es gilt
〈σ(β), σ(β ′ )〉 = 〈β − 2
〈β, α〉
〈α, α〉 α , β′ − 2 〈β′ , α〉
α 〉
〈α, α〉
= 〈β, β ′ 〉 − 2 〈β′ , α〉 〈β, α〉
〈β, α〉 − 2
〈α, α〉 〈α, α〉 〈α, β′ 〉
+ 4 〈β, α〉〈β′ , α〉
〈α, α〉 2 〈α, α〉
= 〈β, β ′ 〉 für alle β, β ′ ∈ E, da s symmetrisch ist.
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007