Lineare algebraische Gruppen - GWDG

4.5 Jordanzerlegung der Rechtstranslation in K[G] 67
Beweis. Da K = K ist, liegen alle Eigenwerte der Standardabbildung
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a1
an
a1
σ : K n → K n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
, ⎝ . ⎠ ↦→ x ⎝ . ⎠ bzw.
an
a1
an
a1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ . ⎠ ↦→ g ⎝ . ⎠
in K . Auf σ können wir 4.2 bzw. 4.3 anwenden, und dann folgt die Behauptung
auch für die zugehörigen Matrizen, vgl. AGLA 5.4, 5.6 und 5.11.
Bemerkung
Sei G eine Untergruppe von GLn(K). Dann besitzt jedes g ∈ G nach dem
Satz eine Jordanzerlegung g = gsgu mit gs, gu ∈ GLn(K).
Problem
Liegen gs und gu wieder in G ?
Im Allgemeinen: nein. Das ist aber der Fall, wenn G abgeschlossen und also
eine lineare algebraische Gruppe ist, vgl. 4.6 unten.
4.5 Jordanzerlegung der Rechtstranslation in K[G]
Seien K algebraisch abgeschlossen, G eine lineare algebraische Gruppe und
K[G] = Mor(G, K) die affine Algebra zu G . Der Isomorphismus
G → G , x ↦→ xg ,
induziert nach 2.9 für jedes g ∈ G einen K-Algebraautomorphismus
G → K,
ρg : K[G] → K[G] , f ↦→
x ↦→ f(xg) ,
genannt Rechtstranslation mit g .
Satz
Für jedes g ∈ G besitzt die Rechtstranslation ρg : K[G] → K[G] eine Jordanzerlegung
ρg = (ρg)s ◦ (ρg)u = (ρg)u ◦ (ρg)s so, dass (ρg)s|W halbeinfach
und (ρg)u|W unipotent für jeden endlich-dimensionalen ρg-stabilen Untervektorraum
W von K[G] ist. Die Zerlegung ist eindeutig.
Beweis. Induktiv konstruieren wir eine Kette von endlich-dimensionalen
Untervektorräumen
W1 ⊂ W2 ⊂ · · · ⊂ Wn ⊂ · · ·
von K[G] , wobei ρg(Wn) ⊂ Wn für alle g ∈ G und K[G] =
n∈N Wn gilt.
Da K[G] als K-Algebra endlich erzeugt ist, besitzt K[G] eine abzählbare
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007
an