Lineare algebraische Gruppen - GWDG

104 7 Wurzelsysteme und Dynkin-Diagramme
7.7 Coxeter-Graphen
Sei R ein reduziertes Wurzelsystem und ∆ eine Basis von R . Ein Coxeter-
Graph von R ist der Graph mit den Elementen von ∆ als Knoten, wobei
zwei verschiedene Knoten durch 0, 1, 2 oder 3 Kanten verbunden sind, je
nachdem, ob n(α, β) · n(β, α) = 0, 1, 2 oder 3 ist, vgl. 7.4.
Beispiele
Die Coxeter-Graphen zu den Beispielen von 7.2, 7.5 sind wie folgt gegeben.
A1 , A1 × A1 , A2 ,
B2 , G2 .
Die Coxeter-Graphen zu A1, A2, B2 und G2 sind zusammenhängend, und
entsprechend sind die zugehörigen Wurzelsysteme irreduzibel. Der Coxeter-
Graph von A1 × A1 ist unzusammenhängend, und entsprechend ist das
zugehörige Wurzelsystem reduzibel. Dabei gilt folgende Definition.
Definition
Ein Wurzelsystem R heißt irreduzibel, wenn sich R nicht darstellen lässt
als Vereinigung R = R1 ∪ R2 , wobei R1, R2 echte Teilmengen von R sind
und 〈α, β〉 = 0 für alle α ∈ R1 und alle β ∈ R2 gilt. Andernfalls heißt R
reduzibel.
Bemerkung
Ein Wurzelsystem ist genau dann irreduzibel, wenn der zugehörige Coxeter-
Graph zusammenhängend ist. Da sich jedes reduzible Wurzelsystem R ⊂ E
in irreduzible Bestandteile Ri ⊂ Ei zerlegen lässt, wobei E eine orthogonale
Summe der Ei ist (vgl. [4] 11.3), beschränken wir uns im Folgenden auf die
Betrachtung von irreduziblen Wurzelsystemen und zusammenhängenden
Coxeter-Graphen.
Es erhebt sich die Frage, wie sich die Beispiele oben verallgemeinern, wenn
der Rang von R größer als 2 ist. Darüber gibt das folgende Theorem, dessen
Beweis äußerst trickreich ist und etliche Reduktionsschritte enthält,
Auskunft, vgl. [4] 11.4 oder [3] Chap. VI, § 4.1.
Theorem
Ist R ein irreduzibles, reduziertes Wurzelsystem, so ist der zu R gehörende
Coxeter-Graph isomorph zu einem der folgenden Graphen.
An , n 1 : Durch die Indizierung ist die Anzahl der Knoten angegeben:
α1 α2 αn
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007