Lineare algebraische Gruppen - GWDG

96 7 Wurzelsysteme und Dynkin-Diagramme
7.2 Wurzelsysteme
Eine Teilmenge R ⊂ E heißt Wurzelsystem, falls gelten:
(1) R ist ein endliches Erzeugendensystem von E und enthält nicht 0 .
(2) Für jedes α ∈ R gilt σα(R) = R . Insbesondere ist −α = σα(α) ∈ R .
(3) Für α, β ∈ R ist
n(β, α) := 2
〈β, α〉
∈ Z .
〈α, α〉
Bemerkung
Ist R ein Wurzelsystem und gilt λα ∈ R für ein α ∈ R und ein λ ∈ R , so
folgt λ ∈ ±1, ± 1
2 , ±2 .
Beweis. Ist λα ∈ R , so folgt −λα = σα(λα) = λα − nα mit n ∈ Z (nach
Definition von σα und nach (3)). Es folgt (2λ − n)α = 0 und also λ = n
2 ,
da α = 0 nach (1). Ist |λ| < 1 , so ist λ = ± 1
2 , da n ∈ Z und λ = 0 nach
Voraussetzung und (1) gilt. Ist |λ| > 1 , so gilt R ∋ α = 1
λ (λα) mit λα ∈ R
und | 1
1 1
λ | < 1 . Wie oben folgt nun λ = ± 2 .
Definition • Ein Wurzelsystem R heißt reduziert, wenn gilt:
Für jedes α ∈ R sind α und −α die einzigen Vielfachen von α in R .
• Der Rang eines Wurzelsystems R ⊂ E ist definiert als rang R :=
dimR E .
• Zwei Wurzelsysteme R ⊂ E und R ′ ⊂ E ′ heißen isomorph, wenn es
einen Vektorraumisomorphismus f : E −→ E ′ gibt mit f(R) = R ′
und n(α, β) = n(f(α), f(β)) für alle α, β ∈ R .
Beispiele
Reduzierte Wurzelsysteme vom Rang 1 und 2 lassen sich einfach grafisch
darstellen:
Reduzierte Wurzelsysteme vom Rang 1
Jedes reduzierte Wurzelsystem vom Rang 1 ist von der Form
−α α A1
Reduzierte Wurzelsysteme vom Rang 2
Wie aus 7.5 unten folgt, ist jedes reduzierte Wurzelsystem vom Rang 2 zu
einem der folgenden vier Wurzelsysteme isomorph.
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007