Lineare algebraische Gruppen - GWDG

1.11 Lösbarkeit von Systemen polynomialer Gleichungen 23
1.11 Lösbarkeit von Systemen polynomialer Gleichungen
Definition
Sei K ein Körper, und sei K ein algebraischer Abschluss von K (gemäß
Algebra 20.2). Für eine nichtleere Teilmenge I ⊂ K[X1, . . . , Xn] setzen wir
V(I) := {x ∈ K n | f(x) = 0 ∀ f ∈ I}
und nennen V(I) eine algebraische Menge in K n oder die Nullstellenmenge
von I in K .
Satz
Ist I = (1) ein Ideal in K[X1, . . . , Xn] , so ist V(I) = ∅ .
Beweis. Es ist I in einem maximalen Ideal m von K[X1, . . . , Xn] enthalten
(vgl. Algebra 7.6), und L := K[X1, . . . , Xn]/m ist dann ein Körper, der
als Ringerweiterung von K endlich erzeugt ist. Nach Lemma 1.10 ist L
also algebraisch über K und kann daher in K eingebettet werden (vgl.
Algebra 20.5). Setze xi = Xi + m in L und x = (x1, . . . , xn) . Dann ist
x ∈ V(m) ⊂ V(I) .
Korollar
Das System f1 = 0 , . . . , fm = 0 mit f1, . . . , fm ∈ K[X1, . . . , Xn] hat genau
dann keine Lösung in K n , wenn es Polynome p1, . . . , pm ∈ K[X1, . . . , Xn]
gibt so, dass 1 = p1f1 + · · · + pmfm gilt.
Beweis. Sei R = K[X1, . . . , Xn] , und sei I das von f1, . . . , fm erzeugte
Ideal in R , also I = {q1f1 + · · · + qmfm | q1, . . . , qm ∈ R} . Dann gilt
V(I) = {x ∈ K n | f1(x) = 0, . . . , fm(x) = 0} , wie leicht zu sehen ist.
Gilt V(I) = ∅ , so ist 1 ∈ I nach dem Satz. Ist umgekehrt 1 ∈ I , so ist
I = K[X1, . . . , Xn] und ersichtlich V(I) = ∅ .
1.12 Radikalideale
Sei I ein Ideal in einem kommutativen Ring R , und sei
Rad(I) := √ I := {r ∈ R | r m ∈ I für ein m ∈ N} .
das Radikal von I. Ersichtlich gilt I ⊂ Rad(I) , und Rad(I) ist ein Ideal
in R nach Aufgabe 2 c.
Definition
• Ein Ideal I heißt Radikalideal, falls I = Rad(I) gilt.
• Ein Element r ∈ R heißt nilpotent, falls r m = 0.
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007