Lineare algebraische Gruppen - GWDG

3.10 Linearisierung affiner Gruppen 61
Satz
Sei G eine lineare algebraische Gruppe. Dann gibt es ein n ∈ N und eine
abgeschlossene Untergruppe H von GLn(K) so, dass G H ist.
Beweis. Wähle ein K-linear unabhängiges Erzeugendensystem {h1, . . . , hk}
von K[G] als K-Algebra. Nach 3.9 (i) gibt es einen ρ-stabilen Untervektorraum
W von K[G] mit B := {h1, . . . , hk, hk+1, . . . , hn} als Basis. Nach
3.9 (1) und Satz 3.9 (i) gibt es Elemente aij ∈ K[G] mit 1 i, j n und
ρg(hj) =
n
aij(g)hj für jedes g ∈ G .
i=1
Es ist also (aij(g))1i,jn die Matrix von ρg|W bezüglich der Basis B ,
und ψ : G → GLn(K), g ↦→ aij(g), ist ein Gruppenhomomorphismus. Wir
zeigen nun, dass ψ injektiv ist. Sei ψ(g) = e . Dann ist ρg(hj) = hj für alle
j , und also gilt ρg(f) = f für alle f ∈ K[G], da h1, . . . , hn die Algebra
K[G] erzeugen und ρg ein Algebrahomomorphismus ist. Es folgt ρg = id
und also g = e . Ferner ist ψ ein Morphismus von affinen Varietäten. Der
zugehörige Algebrahomorphismus
ψ ∗ : K[GLn(K)] = 3.4 K[Xij, d −1 ] → K[G]
ist gegeben durch ψ ∗ (Xij) = aij und ψ ∗ (d −1 ) = det(aij) −1 . Die Gruppe
ψ(G) ist abgeschlossen in GLn(K) nach 3.8 (ii). Noch zu zeigen ist, dass
ψ : G → ψ(G) ein Isomorphismus von Varietäten ist. Es ist
hj(g) = hj(eg) = (ρg(hj))(e) =
n
aij(g)hj(e)
und also hj = n
i=1 hj(e)aij. Hieraus folgt, dass ψ ∗ surjektiv ist (und also
folgt nach Aufgabe 24 (b) erneut, dass ψ(G) abgeschlossen in GLn(K) ist).
Ferner gilt
i=1
K[ψ(G)] K[GLn(K)]/ kern(ψ ∗ ) K[G] ,
und also vermittelt ψ einen Isomorphismus G ψ(G) nach Satz 2.9.
Bemerkung
Ist F ein Teilkörper von K , so lässt sich 3.9 leicht auch für F -Strukturen
beweisen, und der Beweis von 3.10 geht auch durch. Man wähle das Erzeugendensystem
f1, . . . , fk als Erzeugendensystem der F -Strukturen.
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007