Lineare algebraische Gruppen - GWDG

50 2 Affine algebraische Varietäten
Aufgabe 9
Für einen kommutativen Ring R sei Spec(R) die Menge der Primideale von
R . Man zeige, dass Spec(R) eine Topologie trägt, deren abgeschlossenen
Mengen gerade die sogenannten Zariski-abgeschlossenen Mengen
Z(I) := {p ∈ Spec(R) | p ⊃ I }
sind, wobei I alle Ideale von R durchläuft.
Aufgabe 10
Seien K ein algebraisch abgeschlossener Körper, R = K[X1, . . . , Xn] und
Max(R) die Menge der maximalen Ideale von R . Man zeige, dass die Abbildung
ψ : K n → Max(R) , (a1, . . . , an) ↦→ (X1 − a1, . . . , Xn − an),
ein Homöomorphismus ist, wenn K n die Zariski-Topologie trägt und die
Topologie von Max(R) durch die in Aufgabe 9 beschriebene Topologie von
Spec(R) induziert wird.
Aufgabe 11
Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Man zeige, dass die Diagonale
∆ := { (a, b) ∈ K 2 | a = b } bezüglich der Zariski-Topologie abgeschlossen
in K 2 ist und dass ∆ bezüglich der Produkttopologie nicht abgeschlossen
in K 1 × K 1 ist (wobei K 1 jeweils die Zariski-Topologie trage).
Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, wenn er nicht als disjunkte
Vereinigung zweier abgeschlossener echter Teilmengen geschrieben
werden kann.
Aufgabe 12
Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Man zeige, dass
V := { (a, b) ∈ K 2 | ab = 0 }
eine abgeschlossene Menge in K 2 ist, die zusammenhängend, aber nicht
irreduzibel ist.
Aufgabe 13
Sei T ein topologischer Raum, T = ∅ . Dann heißt T noethersch, wenn jede
Kette A1 ⊃ A2 ⊃ . . . von abgeschlossenen Mengen in T stationär wird,
d. h. wenn es ein n ∈ N gibt mit An+k = An für alle k ∈ N .
Man zeige, dass T genau dann noethersch ist, wenn jede nichtleere Menge
M von abgeschlossenen Mengen in T ein minimales Element besitzt (d. h.
eine abgeschlossene Menge A enthält mit der Eigenschaft: B ∈ M und
B ⊂ A =⇒ B = A).
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007