Lineare algebraische Gruppen - GWDG

2.12 Produkt algebraischer Mengen 39
Da V nach Voraussetzung und 2.3 irreduzibel ist, folgt V = VV (a1, . . . , am)
oder V = VV (c1, . . . , cn) . Da VV (0) = V gilt, erhalten wir im ersten Fall
Rad(0)
Aufg 18
= IV (VV (0)) = IV (V ) = IV (VV (a1, . . . , am))
Aufg 18
= Rad(a1, . . . , am) .
Hieraus folgt ai ∈ Rad(0) und also ai = 0 für alle i, da A ein Integritätsring
ist. Analog folgt cj = 0 für alle j im zweiten Fall.
Bemerkung
Mit den im Beweis von (ii) benutzen Methoden erhält man einen alternativen
Beweis von (i).
Der obige Satz ist i. Allg. falsch, wenn K nicht algebraisch abgeschlossen
ist, z. B. ist C ⊗R C kein Integritätsring, vgl. Aufgabe 22.
2.12 Produkt algebraischer Mengen
Satz
Seien V ⊂ K n und W ⊂ K m algebraische Mengen, wobei K algebraisch
abgeschlossen sei.
i) Die Menge V × W ist algebraisch.
ii) Es gibt eine Isomorphie K[V × W ] ∼ → K[V ] ⊗K K[W ] .
iii) Wenn V und W irreduzibel sind, so ist V × W irreduzibel.
Beweis. i) Es ist V = V(f1, . . . , fk) mit f1, . . . , fk ∈ K[X1, . . . , Xn] und
W = V(g1, . . . , gℓ) mit g1, . . . , gℓ ∈ K[Y1, . . . , Ym] nach 2.1. Dann ist
V × W = V(f1, . . . , fk, g1, . . . , gℓ) ⊂ K n+m ,
wobei f1, . . . , fk, g1, . . . , gℓ als Polynome in K[X1, . . . , Xn, Y1, . . . , Ym]
aufgefasst werden.
ii) Die Abbildung
γ : K[V ] × K[W ] → K[V × W ] , (g, h) ↦→
V × W → K
(v, w) ↦→ g(v) · h(w)
ist K-bilinear und induziert also nach 2.10 einen K-Algebrahomomorphismus
Γ: K[V ] ⊗K K[W ] → K[V × W ] .
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007