Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
Es folgt
{
v1 ,...,v n
}
ist linear unabhängig ⇐⇒ L(A,0) = {0}.
Als interessante Beobachtung ergibt sich aus Folgerung I.4.5, i), dass {v 1 ,...,v n }
für n > m linear abhängig ist.
v) Es sei M eine Menge. Für x ∈ M definieren wir die Abbildung
e x : M −→ K
{ 1, y = x
y ↦−→
0, sonst .
Die Menge {e x |x ∈ M} ⊆ Abb(M,K) (vgl. Beispiel III.1.2, ii) ist linear unabhängig.
Dazu sei λ x , x ∈ M, eine Familie von Elementen aus K, die fast alle null
sind. Für alle y ∈ M gilt (∑
λ x ·e x
)(y) = λ y . (III.2)
x∈M
Damit ist die Aussage evident.
Falls M unendlich viele Elemente enthält, ist {e x |x ∈ M} kein Erzeugendensystem.
Die konstante Abbildung
k 1 : M −→ K
x ↦−→ 1
liegt dann nicht in der linearen Hülle 〈e x |x ∈ M〉. Dies folgt aus (III.2).
vi) Es seien M ⊆ V eine linear unabhängige Teilmenge und M ′ ⊆ M. Dann
ist auch M ′ linear unabhängig.
vii) Es seien M ⊆ V eine linear abhängige Teilmenge und M ⊆ M ′ . Dann ist
M ′ ebenfalls linear abhängig.
Aufgabe III.3.4.
Stellen Sie fest, ob die folgenden Mengen von Vektoren im jeweiligen R n linear
unabhängig sind.
a) v 1 :=
⎛
⎜
⎝
⎛
b) v 1 := ⎝
1
−1
5
2
1
2
−4
⎞
⎟
⎠ , v 2 :=
⎞
III.4 Basen
⎛
⎜
⎝
⎛
⎠, v 2 := ⎝
−2
0
−1
1
−3
5
0
⎞
⎟
⎠ und v 3 :=
⎞
⎛
⎜
⎝
⎠ und v 3 := ⎝
Definition III.4.1. Es sei V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge B ⊆ V wird
Basis genannt, wenn sie sowohl eine linear unabhängige Teilmenge als auch
ein Erzeugendensystem ist.
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⎛
1
3
4
2
⎞
−4
0
−3
⎟
⎠ .
⎞
⎠.