Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen
Aufgabe III.5.42.
a) Es seien M eine Menge, V ein K-Vektorraum und x ∈ M. Zeigen Sie, dass die
so genannte Auswertungsabbildung
ev x : Abb(M,V) −→ V
f ↦−→ f(x)
linear ist.
b) Es seien M und N Mengen, und V und W seien K-Vektorräume. Ferner seien
eine Abbildung ϕ: M −→ N und eine lineare Abbildung ψ: V −→ W gegeben.
Zeigen Sie, dass es sich bei den Abbildungen
und
ϕ ∗ : Abb(N,V) −→ Abb(M,V)
f ↦−→ f◦ϕ
ψ ∗ : Abb(M,V) −→ Abb(M,W)
f ↦−→ ψ◦f
um lineare Abbildungen handelt. Benutzen Sie eine Abbildung vom Typ ϕ ∗ , um
einen linearen Isomorphismus zwischen den Vektorräumen Mat(m,n;K) und
K m·n herzustellen.
Aufgabe III.5.43.
Es seien A ∈ Mat(m,n;K) eine (m×n)-Matrix und f A : K n −→ K m die in Definition
III.5.11 definierte zugehörige Abbildung. Rechnen Sie nach, dass f A eine lineare
Abbildung ist.
Aufgabe III.5.44.
Wir betrachten eine lineare Abbildung f A : K 3 −→ K 3 , K := F 7 . Berechnen Sie
Ker(f A ), f −1 ({v}) und f −1 (〈v〉) zu den Daten
⎛
A := ⎝
1 1 1
−2 −1 −1
2 −1 6
Aufgabe III.5.45.
Gegeben seien folgende Vektoren im R 4 :
v 1 :=
⎛
⎜
⎝
1
5
−1
−1
⎞
⎟
⎠ ,v 2 :=
⎛
⎜
⎝
−2
−7
3
3
⎞
⎞
⎟
⎠ ,v 3 :=
⎛
⎠, v := ⎝
⎛
⎜
⎝
3
11
−6
−3
⎞
1
1
7
⎞
⎠.
⎟
⎠ ,v 4 :=
⎛
⎜
⎝
−5
−14
12
6
⎞
⎟
⎠ .
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