Vektorräume und lineare Abbildungen - Userpage

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Kapitel III. Vektorräume und lineare Abbildungen Satz III.6.5 (Homomorphiesatz). Es seien V, W Vektorräume über dem Körper K und f: V −→ W eine lineare Abbildung. Dann ist die Abbildung f: V/Ker(f) −→ Bild(f) [v] ↦−→ f(v) wohldefiniert und ein linearer Isomorphismus. Beweis. Wir zeigen, dass f wohldefiniert ist. Aus der Definition folgt dann unmittelbar, dass f linear ist, Es seien v ∈ V, u ∈ Ker(f) und v ′ = v+u. Wir finden f(v ′ ) = f(v+u) = f(v)+f(u) = f(v)+0 = f(v). Nach der Dimensionsformel III.5.39 und Satz III.6.3, ii), haben V/Ker(f) und Bild(f) dieselbe Dimension. Zudem ist f offenkundig surjektiv. Nach Folgerung III.5.40, iii), ist f ein Isomorphismus. Dieser Satz gibt einen ersten Eindruck davon, wie Quotientenvektorräume auf natürliche Weise auftreten. In der Linearen Algebra kann man anstatt mit Quotientenvektorräumen oft auch mit linearen Komplementen arbeiten (vgl. Aufgabe III.6.7). Wir haben in Beispiel III.5.36, iii), gesehen, dass lineare Komplemente im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt sind. Dagegen ist die Konstruktion des Quotientenvektorraums kanonisch, d.h. sie hängt nicht von zusätzlichen Wahlen ab. Die Konstruktion des Quotientenvektorraums funktioniert auch im unendlichdimensionalen Kontext problemlos. Dagegen erfordert der Beweis der Existenz eines linearen Komplements in dieser Situation das Auswahlaxiom. Man beachte weiter, dass für einen K-Vektorraum V, einen linearen Teilraum U ⊂ V und ein lineares Komplement U ′ von U die induzierte Abbildung π |U ′: U ′ −→ V/U ein Isomorphismus ist. Man kann den Quotientenvektorraum also als intrinsische Version des linearen Komplements ansehen. Allerdings ist der Quotientenvektorraum kein linearer Teilraum des ursprünglichen Vektorraums. Schließlich sei darauf hingewiesen, dass in anderen Situationen, wie etwa der Gruppentheorie, Komplemente im Allgemeinen nicht existieren und man somit auf die Konstruktion etwa von Faktorgruppen (vgl. Satz II.4.6) angewiesen ist. Für eine Diskussion von Quotientenvektorräumen mit Blick auf ” kategorielle“ Konzepte verweisen wir auf [1], Kapitel II. Aufgabe III.6.6. a) Es seien v 1 ,...,v s ∈ K n und U := 〈v 1 ,...,v s 〉 ⊆ K n . Entwickeln Sie mit Hilfe der obigen Ergebnisse einen Algorithmus zum Auffinden einer (m × n)-Matrix A, für die L(A,0) = U gilt. Hierbei ist m = n−Dim K (U). Hinweis. Geben Sie zunächst ein Verfahren an, dass aus den Vektoren v 1 ,...,v s 94
III.6. Quotientenvektorräume eine Basis für U auswählt. b) Bestimmen Sie mit dem Verfahren aus a) eine Matrix A, für die ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 −1 3 4,5 〈 2 L(A,0) = ⎜ 3 ⎟ ⎝ 4 ⎠ , 2 ⎜ −3 ⎟ ⎝ 4 ⎠ , −2 ⎜ 9 ⎟ ⎝ −4 ⎠ , 1 〉 ⎜ 13,5 ⎟ ⊆ R 5 ⎝ 2 ⎠ 5 −5 15 23,5 gilt. Aufgabe III.6.7. Beweisen Sie Folgerung III.6.4 mit Hilfe von linearen Komplementen anstatt mit Quotientenvektorräumen. Aufgabe III.6.8. Es seien V, W zwei K-Vektorräume, f: V −→ W eine lineare Abbildung, U ⊆ V ein linearer Teilraum und π: V −→ V/U die Projektion aus Satz III.6.3, ii). a) Beweisen Sie, dass es genau dann eine lineare Abbildung f: V/U −→ W mit gibt, 12 wenn f = f◦π U ⊆ Ker(f) gilt. Überprüfen Sie auch, dass f in diesem Fall eindeutig bestimmt ist. b) Weisen Sie nach, dass im Fall U ⊆ Ker(f) die Gleichung Ker(f) = Ker(f)/U erfüllt ist. Erläutern Sie dazu auch kurz, inwiefern Ker(f)/U ein Unterraum von V/U ist. Zeigen Sie weiter Bild(f) = Bild(f). Aufgabe III.6.9. Es seien V,W endlichdimensionale K-Vektorräume und f: V −→ W eine lineare Abbildung. Der Vektorraum Koker(f) := W/Bild(f) 12 Man kann sich diese Bedingung mit dem Diagramm V f W π V/U ∃f ” veranschaulichen“. 95
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